Identità di Brahmagupta

In matematica, l'identità di Brahmagupta, detta anche identità di Fibonacci, afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali è la somma di due quadrati di numeri naturali, si può esprimere come somma di quadrati (ed in due modi distinti). In altre parole, l'insieme delle somme di due quadrati è chiuso rispetto alla moltiplicazione. In particolare:

$\begin{align} \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \ \qquad\qquad(1) \\ & {}= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.\qquad\qquad(2) \end{align}$

Ad esempio,

$(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 30^2 + 1^2 = 26^2 + 15^2.\,$

Questa identità è utilizzata nella dimostrazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. L'identità è valida in qualunque anello commutativo, ma è particolarmente utile nell'insieme dei numeri interi.

Questa identità è un caso speciale (n = 2) dell'identità di Lagrange. Brahmagupta dimostrò ed utilizzò un'identità più generale:

$\begin{align} \left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) & {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 \ \qquad\qquad(3) \\ & {}= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2,\qquad\qquad(4) \end{align}$

che mostra che l'insieme di tutti i numeri della forma $x^2 + ny^2$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

L'identità dei quattro quadrati di Eulero è un'identità analoga con quattro quadrati anziché due. Inoltre, vi è un'identità con otto quadrati, derivata dagli ottonioni, ma non ha implicazioni particolarmente interessanti per i numeri interi perché ogni numero naturale è somma di quattro quadrati (vedi Teorema dei quattro quadrati). Essa è correlata alla periodicità di Bott.

Storia

Quest'identità è stata scoperta dal matematico e astronomo indiano Brahmagupta (598-668), che la generalizzò. La sua opera Brāhmasphuṭasiddhānta fu successivamente tradotta, dal Sanscrito, in arabo da Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, in seguito in persiano, e infine in latino nel 1126. L'identità riapparì nel 1225 all'interno del Liber Quadratorum di Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci (1170-1250). Tuttavia, è possibile che l'identità fosse già nota a Diofanto nel III secolo (Arithmetica - III, 19).

Relazione con i numeri complessi

Se a, b, c e d sono numeri reali, questa identità è equivalente alla proprietà della moltiplicazione dei valori assoluti dei numeri complessi:

$| a+bi | | c+di | = | (a+bi)(c+di) | \,$

dato che

$| a+bi | | c+di | = | (ac-bd)+i(ad+bc) |,\,$

elevando al quadrato entrambi i membri

$| a+bi |^2 | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,\,$

e ricorrendo alla definizione di valore assoluto,

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \,$

Applicazione all'equazione di Pell

Nel suo contesto originale, Brahmagupta applicò la sua scoperta alla soluzione dell'equazione di Pell,

$x^2-Ny^2=1. \,$

Usando l'identità nella forma più generale

$(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2, \,$

osservò che, date due triple (x₁, y₁, k₁) e (x₂, y₂, k₂), soluzioni di x² − Ny² = k, allora anche

$(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2)$

è una soluzione della medesima equazione.

Questo non permise soltanto di generare infinite soluzioni di x² − Ny² = 1 partendo da una sola soluzione, ma anche, dividendo ogni membro per k₁k₂, di ottenere spesso soluzioni intere o "quasi intere". Il metodo generale per risolvere l'equazione di Pell, ad opera di Bhaskara nel 1150, chiamato metodo Chakravala, è basato anche su questa identità.

Collegamenti esterni

• Brahmagupta's identity at PlanetMath
• Fibonacci identity - su MathWorld
• Brahmagupta-Fibonacci identity
• A Collection of Algebraic Identities

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