Identità dei quattro quadrati di Eulero

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In matematica, l'identità dei quattro quadrati di Eulero afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali scrivibile come somma di quadrati, si può scrivere come somma di quadrati. In particolare:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) =
=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2
+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2

Eulero scrisse di quest'identità il 12 aprile 1749 nella lettera CXXV a Goldbach. Essa si può dimostrare con semplici passaggi di algebra elementare ed è valida in ogni anello commutativo. Se le a e le b sono numeri reali, esiste una dimostrazione più elegante: l'identità esprime il fatto che il valore assoluto del prodotto di due quaternioni è uguale al prodotto dei loro valori assoluti, così come fa l'identità di Brahmagupta per i numeri complessi.

L'importanza di questa identità nell'ambito della teoria dei numeri è legata al suo uso nella dimostrazione di Lagrange del suo teorema dei quattro quadrati.

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