Geometria euclidea

Euclide

La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele.

Le geometrie che si basano su postulati diversi da quelli elencati da Euclide sono dette geometrie non euclidee.

I cinque postulati di Euclide

Gli elementi fondamentali della geometria euclidea sono il punto, la retta, ed il piano.

Di seguito si riportano i postulati di Euclide:

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta.
2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere una circonferenza.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
5. Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sull'ultimo, si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria iperbolica.

Prime conseguenze

Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:

• Per un punto passano infinite rette
• Per due punti distinti passa una ed una sola retta
• Per una retta nello spazio passano infiniti piani
• Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:

• Due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.
• Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.
• La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.

Versione assiomatizzata e corretta

Nel 1899 David Hilbert propone un sistema assiomatico corretto per la geometria. Perché se ne sentiva la necessità? Anzitutto, si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti, ad esempio nel primo assioma è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti, nella seconda che una retta possegga più di un punto, nel terzo che nel piano ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un segmento di retta per traslazione senza deformarlo, e via di questo passo.

Venne così pubblicato Grundlagen der Geometrie, in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da Henri Poincaré che la geometria iperbolica, indagata da Giovanni Girolamo Saccheri, fondata correttamente da Nikolaj Ivanovič Lobačevskij e confermata con un modello da Eugenio Beltrami, poteva essere messa in corrispondenza con la geometria euclidea, in modo tale che un'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.

Voci correlate

• V postulato di Euclide
• Geometria algebrica
• Geometria descrittiva
• Geometrie non euclidee
• Geometria frattale
• Geometria iperbolica
• Geometria ellittica
• Geometria sferica
• Spaziotempo

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene immagini o altri file su Geometria euclidea

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica