Formula di Black

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La formula di Black (cui spesso si fa riferimento come al modello di Black-76) è una formula per valutare il prezzo di strumenti derivati basata sul noto modello di Black e Scholes. Ampiamente utilizzata nella prassi dei mercati, in particolare per opzioni su futures e su obbligazioni, è stata introdotta da Fischer Black in un contributo del 1976.

Il principale problema della formula è la difficoltà con cui può essere adattata per prezzare strumenti il cui valore dipende dalla correlazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie.

Formula di Black (1976)[modifica | modifica wikitesto]

La formula è simile alla formula di Black e Scholes per il prezzo di opzioni europee su azioni; la principale differenza è che il prezzo del sottostante è ora il prezzo di un contratto forward o di un futures.

Il prezzo di un'opzione call \ C, con prezzo d'esercizio \ K e scadenza \ T, è dato da:

\ C(F_{t},t)=e^{-r(T-t)}\left(F_{t}N(d_{1})-KN(d_{2})\right)

dove \ r è il tasso d'interesse su base annua, supposto costante per tutta la durata del contratto, \ N(\cdot) denota la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale standard, e

\ d_{1}=\frac{\ln\frac{F_{t}}{K}+\frac{1}{2}\sigma^{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}};\quad d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T-t}

dove \ \sigma^{2} è la varianza istantanea percentuale del prezzo forward o future del sottostante. Per un'opzione put, l'espressione corrispondente è:

\ P(F_{t},t)=e^{-r(T-t)}\left(KN(-d_{2})-F_{t}N(-d_{1})\right)

Derivazione della formula; aspetti critici[modifica | modifica wikitesto]

La derivazione del modello segue strettamente quella delle formule di Black e Scholes, cui si rinvia; l'ipotesi di log-normalità del processo del prezzo spot è in questo caso sostituita dall'ipotesi che sia il prezzo forward a seguire un processo lognormale.

L'approccio del cambiamento del numerario ha definitivamente mostrato la validità del risultato di Black, a lungo considerato soltanto un'approssimazione.

Il modello è utilizzato per il prezzaggio di opzioni su futures e swaption. È stato fatto osservare, d'altra parte, che il tasso swap, sottostante un swaption, è una media di tassi forward; appare dunque poco convincente utilizzare il modello di Black per prezzare opzioni su contratti futures (assumendo che il tasso forward abbia distribuzione lognormale) e swaption (assumendo che il tasso swap abbia distribuzione lognormale), dal momento che una media di variabili casuali lognormali non ha necessariamente distribuzione lognormale. In effetti ciò è verificato solamente nel caso in cui i tassi ricompresi nel tasso swap siano perfettamente correlati; fare tale ipotesi significherebbe sacrificare il realismo del modello (a beneficio, ad ogni modo, della sua trattabilità).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Contributo storico[modifica | modifica wikitesto]

  • Black, F. (1976) The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics 3, 167-179.

Manualistica[modifica | modifica wikitesto]

  • Hull, J.C. (2000), Options, Futures and Other Derivatives, Prentice-Hall, ISBN 0-13-022444-8; il testo introduttivo alla teoria degli strumenti derivati di riferimento, di livello universitario pre-dottorato (in inglese);
  • Hull, J.C. (2003), Opzioni, Futures e Altri Derivati, Il Sole 24Ore Libri, (edizione italiana del volume).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]