600-celle

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600-cella
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
Diagramma di Schlegel del policoro
Tipo Policoro regolare
Forma celle Tetraedri regolari
Nº celle 600 tetraedri regolari
Nº facce 1200 triangoli equilateri
Nº spigoli 720
Nº vertici 120
Cuspidi dei vertici 600-cell verf.png
(icosaedro regolare)
Simbolo di Schläfli {3; 3; 5}
Duale iperdodecaedro
Proprietà convesso, regolare

In geometria quadridimensionale, la 600-cella (detta anche tetraplesso, da "complesso di tetraedri", esacosicoro o politetraedro) è uno dei sei policori regolari. È considerato la naturale estensione in dimensione 4 dell'icosaedro.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

Una 600-cella è l'inviluppo convesso di 120 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale \R^4. Sia

\varphi = \frac {1+\sqrt 5}2.

I punti sono i seguenti:

  • 16 vertici del tipo:
    \left(\pm \frac 12, \pm \frac 12, \pm \frac 12, \pm \frac 12\right)
  • 8 vertici del tipo:
    (0, 0, 0, \pm 1) e sue permutazioni
  • 96 vertici del tipo:
    \left(\pm \frac 12, \pm \frac \varphi 2, \pm \frac 1 {2\varphi}, 0\right) e le sue permutazioni pari.

I primi 16 punti sono i vertici di un ipercubo, gli 8 seguenti sono quelli di un iperottaedro, e i 24 punti insieme formano i vertici di un 24-celle.

I 120 punti formano un sottogruppo dei quaternioni.

Proiezioni[modifica | modifica sorgente]

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo \R^4).

Proiezioni sul piano bidimensionale[modifica | modifica sorgente]

Proiezioni ortografiche
Cell600 pentagon.svg
Centrata su un vertice, mostra simmetria decagonale
Cell600Petrie.svg
Una proiezione ortografica nel poligono di Petrie 30-gonale
Cell600SquareSym.png
Centrata su un vertice, mostra simmetria quadrata
Cell600 hexagon.svg
Centrata su una faccia triangolare, mostra simmetria esagonale


Confronto animato a fotogrammi sincronizzati della 600-cella usando la proiezione ortogonale isometrica (a sinistra) e in prospettiva (a destra).

Sviluppo[modifica | modifica sorgente]

Lo sviluppo dell'esacosicoro è composto da 600 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

Dualità[modifica | modifica sorgente]

La 600-cella è duale dell'iperdodecaedro o 120-cella, come l'icosaedro è duale del dodecaedro.

Relazione di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Per questo policoro vale la relazione (4-dimensionale!) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

V + F = S + C.

In questo caso 120 + 1200 = 720 + 600, cioè 1320 = 1320.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
  • L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9.

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