Lista dei politopi regolari

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Questa voce elenca i politopi regolari negli spazi euclidei, sferici e iperbolici. La notazione di Schläfli descrive ogni politopo regolare, ed è usata ampiamente nel seguito come abbreviazione per ciascuno di essi.

I politopi regolari sono raggruppati per dimensione e divisi in forme convesse, non convesse e infinite. Le forme non convesse usano gli stessi vertici delle forme convesse, ma hanno facet che si intersecano. Le forme infinite tassellano uno spazio euclideo di dimensione inferiore.

Le forme infinite possono essere estese per tassellare uno spazio iperbolico. Lo spazio iperbolico è come quello normale a brevi distanze, ma le rette parallele divergono a grandi distanze. Questo permette alle figure di vertice di avere difetto d'angolo negativo, come ad esempio componendo un vertice di 7 triangoli equilateri e permettendogli di giacere nello stesso piano. Non può essere fatto nel piano regolare, ma alla giusta scala può essere fatto sul piano iperbolico.

Elenco dei politopi regolari ordinati per dimensione[modifica | modifica wikitesto]

Dimensione Convesso Non convesso Tassellazioni
euclidee
convesse
Tassellazioni
iperboliche
convesse
Tassellazioni
iperboliche
non convesse
2 poligoni poligoni stellati 1 1 0
3 5 solidi platonici 4 solidi di Kepler-Poinsot 3 tassellature
4 6 policori convessi 10 policori di Schläfli-Hess 1 alveari 4 0
5 3 5-politopi convessi 0 5-politopi non convessi 3 tassellazioni 5 4
6+ 3 0 1 0 0

Politopi regolari bidimensionali[modifica | modifica wikitesto]

I politopi bidimensionali sono chiamati poligoni. I poligoni regolari sono equilateri e ciclici.

Di solito soltanto i poligoni convessi sono considerati regolari, tuttavia i poligoni stellati, come il pentagramma, possono essere considerati anch'essi regolari. Essi usano gli stessi vertici delle forme convesse, ma si connettono in un percorso alternato che fa il giro più volte prima di ritornare al punto di partenza.

I poligoni stellati andrebbero chiamati non convessi piuttosto che concavi perché gli spigoli che si intersecano non generano nuovi vertici e tutti i vertici stanno su una circonferenza.

Politopi regolari tridimensionali[modifica | modifica wikitesto]

In 3 dimensioni, i politopi regolari vengono chiamati poliedri:

Un poliedro regolare con simbolo di Schläfli \{p,q\} ha facce regolari di tipo \{p\}, e figura di vertice regolare \{q\}.

Una figura di vertice (di un poliedro) è un poligono, ottenibile connettendo quei vertici che sono a uno spigolo di distanza da un vertice dato. Per i poliedri regolari, questa figura di vertice è sempre un poligono regolare (e planare).

L'esistenza di un poliedro regolare \{p,q\} è vincolata da una disuguaglianza, legata all'angolo di difetto della figura di vertice:

1/p + 1/q > 1/2 : Poliedro (esistente nello spazio euclideo tridimensionale)
1/p + 1/q = 1/2 : Tassellatura planare euclidea
1/p + 1/q < 1/2 : Tassellatura del piano iperbolico

Contando le permutazioni, troviamo 5 forme convesse, 4 forme non convesse e 3 tassellature planari, tutte con poligoni \{p\} e \{q\} limitati a: \{3\}, \{4\}, \{5\}, {5/2}, e \{6\}.

Oltre allo spazio euclideo, c'è un insieme infinito di tassellature regolari del piano iperbolico.

Politopi regolari quadridimensionali[modifica | modifica wikitesto]

I policori regolari con simbolo di Schläfli \{p,q,r\} hanno celle di tipo \{p,q\}, facce di tipo \{p\}, figure di spigolo \{r\}, e figure di vertice \{q,r\}.

  • Una figura di vertice (di un policoro) è un poliedro, ottenibile dalla disposizione dei vertici vicini a un vertice dato. Per un policoro regolare, questa figura di vertice è un poliedro regolare.
  • Una figura di spigolo è un poligono, ottenibile dalla disposizione delle facce attorno a uno spigolo. Per i policori regolari, questa figura di spigolo è un poligono regolare.

L'esistenza di un policoro regolare \{p,q,r\} è vincolata dell'esistenza di poliedri regolari \{p,q\}, \{q,r\}.

Ognuno di questi esisterà in uno spazio dipendente dalla seguente espressione:

\sin \left ( \frac{\pi}{p} \right ) \sin \left(\frac{\pi}{r}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{q}\right)
> 0 : Policoro di superficie ipersferica (nello spazio quadridimensionale)
= 0 : Alveare tridimensionale euclideo
< 0 : Alveare tridimensionale iperbolico

Questi vincoli permettono 21 forme: 6 sono convesse, 10 sono non convesse, 1 è un alveare tridimensionale euclideo, e 4 sono alveari iperbolici.

La caratteristica di Eulero \chi per i policori è: \chi = V+F-E-C ed è 0 per tutte le forme.

Politopi regolari a cinque dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

In cinque dimensioni, un politopo regolare può essere scritto come \{p,q,r,s\} dove \{p,q,r\} è il tipo di ipercella, \{p,q\} è il tipo di cella, \{p\} è il tipo di faccia, e \{s\} è la figura di faccia, \{r,s\} è la figura di spigolo, e \{q,r,s\} è la figura di vertice.

Un 5-politopo viene chiamato politero, e se infinito (cioè un alveare) un 5-politopo può essere chiamato un

Una figura di vertice (di un 5-politopo) è un policoro, ottenibile dalla disposizione dei vertici vicini a un dato vertice.
Una figura di spigolo (di un 5-politopo) è un poliedro, ottenibile dalla disposizione delle facce attorno a un dato spigolo.
Una figura di faccia (di un 5-politopo) è un poligono, ottenibile dalla disposizione delle celle attorno a una data faccia.

Un politopo regolare \{p,q,r,s\} esiste solo se \{p,q,r\} e \{q,r,s\} sono policori regolari.

Lo spazio che riempie si basa sulla seguente espressione:

\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{q}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{p}\right)} + \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{r}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{s}\right)}
< 1 : Politopo sferico
= 1 : Tassellazione dello spazio euclideo quadridimensionale
> 1 : Tassellazione dello spazio iperbolico quadridimensionale

Con questi vincoli si ottengono 3 politopi convessi, zero politopi non convessi, 3 tassellazioni dello spazio euclideo quadridimensionale, e 5 tassellazioni dello spazio iperbolico quadridimensionale.

Politopi convessi classici[modifica | modifica wikitesto]

Due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo di Schläfli {p} rappresenta un p-agono regolare.

I poligoni regolari convessi sono:

Name Schläfli
Symbol
{p}
triangolo equilatero {3}
quadrato {4}
pentagono regolare {5}
esagono regolare {6}
eptagono regolare {7}
ottagono regolare {8}
nonagono regolare {9}
decagono regolare {10}
endecagono regolare {11}
dodecagono regolare {12}
...n-agono regolare {n}
apeirogono {}
Complete graph K2.svg
{2}
Triangle.Equilateral.svg
{3}
SQUARE SHAPE.svg
{4}
Pentagon.svg
{5}
Hexagon.svg
{6}
Heptagon.svg
{7}
Octagon.svg
{8}
Nonagon.svg
{9}
Decagon.svg
{10}
Hendecagon.svg
{11}
Dodecagon.svg
{12}

Un digono, {2}, può essere considerato un poligono regolare degenere.

Tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

I cinque poliedri regolari convessi vengono chiamati solidi platonici. (Per ciascun vertice è data la figura di vertice corrispondente.)

Nome Simbolo di Schläfli
{p,q}
Facce
{p}
Spigoli Vertici
{q}
χ Symmetria Duale
Tetraedro {3,3} 4
{3}
6 4
{3}
2 Td Autoduale
Cubo (esaedro) {4,3} 6
{4}
12 8
{3}
2 Oh Ottaedro
Ottaedro {3,4} 8
{3}
12 6
{4}
2 Oh Cubo
Dodecaedro {5,3} 12
{5}
30 20
{3}
2 Ih Icosaedro
Icosaedro {3,5} 20
{3}
30 12
{5}
2 Ih Dodecaedro
{3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.svg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
Tetrahedron.png Hexahedron.png Octahedron.png Dodecahedron.png Icosahedron.png

In geometria sferica, l'osoedro (simbolo di Schläfli {2,n}) e il diedro (simbolo di Schläfli {n,2}) possono essere considerati poledri regolari (tassellature della sfera).

Quattro dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

I 6 policori regolari sono i seguenti:

Name
Simbolo di Schläfli
{p,q,r}
Celle
{p,q}
Facce
{p}
Spigoli
{r}
Vertici
{q,r}
χ Duale
{r,q,p}
5-cella
(Pentacoro)
{3,3,3} 5
{3,3}
10
{3}
10
{3}
5
{3,3}
0 Autoduale
8-cella
(Ipercubo)
{4,3,3} 8
{4,3}
24
{4}
32
{3}
16
{3,3}
0 16-cella
16-cella {3,3,4} 16
{3,3}
32
{3}
24
{4}
8
{3,4}
0 Ipercubo
24-cella {3,4,3} 24
{3,4}
96
{3}
96
{3}
24
{4,3}
0 Autoduale
120-cella {5,3,3} 120
{5,3}
720
{5}
1200
{3}
600
{3,3}
0 600-cella
600-cella {3,3,5} 600
{3,3}
1200
{3}
720
{5}
120
{3,5}
0 120-cella
5-cella 8-cella 16-cella 24-cella 120-cella 600-cella
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
Proiezioni ortografiche reticolari
Cell5-4dpolytope.png Hypercubestar.svg Cell16-4dpolytope.svg 24 Cell Polytopeb.svg Cell120-4dpolytope.png Cell600-4dpolytope.gif
Proiezioni ortografiche solide (centrate nelle celle)
Tetrahedron.png
Inviluppo
tetraedrale
Hexahedron.png
Inviluppo
cubico
Octahedron.png
Inviluppo
ottaedrico
Ortho solid 24-cell.png
Inviluppo
cubottaedrale
Ortho solid 120-cell.png
Inviluppo
di triacontaedro
rombico troncato
Ortho solid 600-cell.png
Inviluppo
pentacisdodecaedrico
Diagrammi di Schlegel reticolari (Proiezione prospettica)
Schlegel wireframe 5-cell.png
(centrato nella cella)
Schlegel wireframe 8-cell.png
(centrato nella cella)
Schlegel wireframe 16-cell.png
(centrato nella cella)
Schlegel wireframe 24-cell.png
(centrato nella cella)
Schlegel wireframe 120-cell.png
(centrato nella cella)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
(centrato nel vertice)
Proiezioni stereografiche (Ipersferiche) reticolari
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

Politopi finiti non convessi - politopi stellati[modifica | modifica wikitesto]

Due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Esistono infiniti politopi regolari non-convessi a due dimensioni, i cui simboli di Schläfli consistono di numeri razionali {m/n}. Essi vengono chiamati poligoni stellati.

In generale, per ogni numero naturale n, ci sono poligoni stellati a n punte con simboli di Schläfli {n/m} per ogni m tale che m < n/2 (o equivalentemente {n/m}={n/(n-m)}) e m and n sono coprimi.

Nome Simbolo di Schläfli{n/m}
pentagramma {5/2}
eptagramma {7/2}, {7/3}
octagramma {8/3}
enneagramma {9/2}, {9/4}
decagramma {10/3}
endecagramma {11/2} {11/3}, {11/4}, {11/5}
dodecagramma {12/5}
...n-agrammi {n/m}
Pentagram green.svg
{5/2}
Obtuse heptagram.svg
{7/2}
Acute heptagram.svg
{7/3}
Octagram.svg
{8/3}
Star polygon 9 2.png
{9/2}
Star polygon 9 4.png
{9/4}

Dimensioni superiori[modifica | modifica wikitesto]

Non ci sono politopi regolari non-convessi in cinque o più dimensioni.

Tassellazioni[modifica | modifica wikitesto]

Apeirotopi[modifica | modifica wikitesto]

Un apeirotopo è, come ogni altro politopo, una ipersuperficie illimitata. La differenza è che, mentre l'ipersuperficie di un politopo si ricurva su di sé per racchiudere un volume finito dell'iperspazio, un apeirotopo semplicemente non si ferma mai.

Alcuni considerano gli apeirotopi semplicemente come un tipo particolare di politopo, mentre altri li considerano di tutt'altra specie.

Politopi astratti[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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