24-celle

24-celle
Questo diagramma di Schlegel mostra vertici e spigoli del policoro
Tipo	Policoro regolare
Celle	Ottaedri regolari
Elementi:  · Celle  · Facce  · Spigoli  · Vertici	24 tetraedri regolari 96 triangoli equilateri 96 24
cuspidi dei vertici	(cubo)
simbolo di Schläfli	{3,4,3}
Duale	24-celle (è autoduale)
Proprietà	convesso, regolare

In geometria quadridimensionale il 24–Celle, è uno dei sei politopi regolari ordinari.

Descrizione

Un 24-celle è l'inviluppo convesso di 24 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale $\R^4$. I punti sono i seguenti:

• 8 punti del tipo

  $(\pm 1, 0, 0, 0), (0, \pm 1, 0, 0), (0, 0, \pm 1, 0), (0, 0, 0, \pm 1),$

• 16 punti del tipo

  $\left(\pm \frac 12, \pm \frac 12, \pm \frac 12, \pm \frac 12\right).$

I primi 8 sono i vertici di un iperottaedro, mentre gli ultimi 16 sono i vertici di un ipercubo. Un insieme analogo di vertici in dimensione 3 determina il dodecaedro rombico, che non è però regolare.

Dualità

Il 24-celle è autoduale. Gli unici politopi regolari autoduali (in ogni dimensione) sono il simplesso (che esiste in ogni dimensione: triangolo equilatero, tetraedro, ipertetraedro, etc.) e il 24-celle, che esiste solo in dimensione 4.

Relazione di Eulero

Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale!) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

$V + F = S + C.\,\!$

In questo caso 24 + 96 = 96 + 24.

Bibliografia

• Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.

• Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7

• Luigi Berzolari & G.Vivanti & D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1929, 1937, 1950. 143-225-237-3

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