Parallelepipedo

Parallelepipedo
Tipo	Prisma
Forma facce	Parallelogrammi
Nº facce	6
Nº spigoli	12
Nº vertici	8
Valenze vertici	3
Caratteristica di Eulero	2

In geometria solida, il parallelepipedo (etimologicamente: a piani, in greco epipedòn, paralleli) è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi. L'ampiezza degli angoli formati dalle sue facce può variare; quando gli angoli sono retti (formando un rettangolo per ogni faccia) si parla di parallelepipedo rettangolo.

Definizione

Un parallelepipedo può essere definito alternativamente in uno dei modi seguenti:

• un prisma la cui base è un parallelogramma;
• un esaedro le cui facce sono tutti parallelogrammi;
• un esaedro con tre coppie di facce parallele.

In geometria analitica, usando i vettori, è possibile definire il parallelepipedo come l'insieme

$\{l\mathbf {a} +m\mathbf {b} +n\mathbf {c} \ |\ 0\leq l,m,n\leq 1\}$

determinato da tre vettori $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ linearmente indipendenti nello spazio euclideo tridimensionale, indicato con $\mathbb {R} ^{3}$. Questi vettori coincidono con tre spigoli del parallelepipedo.

Tre vettori $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ definiscono un parallelepipedo. Il volume è dato dal determinante di questi tre vettori. Oppure dal prodotto fra l'area del parallelogramma di base e dell'altezza $h$.

Volume

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una qualsiasi delle sue 6 facce per la distanza $h$ fra il piano contenente tale faccia e quello contenente la faccia opposta.

In geometria analitica, se il parallelepipedo è determinato da tre vettori:

${\begin{aligned}{\vec {a}}&=(a_{1},a_{2},a_{3})\\{\vec {b}}&=(b_{1},b_{2},b_{3})\\{\vec {c}}&=(c_{1},c_{2},c_{3})\end{aligned}}$

il volume è il prodotto triplo

${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$

o equivalentemente, del determinante

$\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}.$

Nel caso particolare di un parallelepipedo rettangolo, il volume diverrà quindi il prodotto aritmetico delle lunghezze dei tre lati.

Un cuboide

Proprietà

Il parallelepipedo è un poliedro in cui ogni faccia è un poligono dotato di simmetria centrale, ed è quindi uno zonoedro. Le facce opposte sono parallelogrammi posti su piani paralleli.

Casi particolari

Un parallelepipedo le cui facce sono parallelogrammi particolari ha nomi più specifici:

• un cuboide o parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli;
• un romboedro è un parallelepipedo le cui facce sono rombi;
• un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati.

Ciascuna di queste tipologie può essere definita in modo differente:

• un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo in cui gli angoli diedrali sono tutti retti;
• un romboedro è un parallelepipedo i cui spigoli hanno tutti la stessa lunghezza;
• un cubo è un parallelepipedo regolare.

Voci correlate

• Cubo

Altri progetti

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• Wikizionario
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Collegamenti esterni

• Parallelepipedo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• PARALLELEPIPEDO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.
• Parallelepipedo, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• Parallelepìpedo, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• parallelepìpedo, su sapere.it, De Agostini.
• Parallelepipedo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Opere riguardanti Parallelepiped, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Parallelepiped, su MathWorld, Wolfram Research.