Teorema di Banach-Alaoglu

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In matematica, teorema di Banach-Alaoglu o teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki è un risultato noto nell'ambito dell'analisi funzionale che afferma che, dato uno spazio di Banach separabile, ogni successione limitata nel suo duale ammette una sottosuccessione debolmente* convergente. Se si denota con X lo spazio di Banach in questione, il teorema caratterizza la convergenza debole sul duale X^*, non testata su tutti gli elementi del biduale X^{**} ma solo su quelli di \tau(X), dove \tau è la mappa canonica.

Prende il nome da Stefan Banach, Leonidas Alaoglu e Nicolas Bourbaki.

Il teorema di Bourbaki-Alaoglu generalizza il teorema al caso di topologie duali.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio normato; il suo spazio duale X^* è un altro esempio di spazio normato (con la norma operatoriale). Il teorema di Banach-Alaoglu stabilisce che la sfera unitaria chiusa in X^* è compatta rispetto alla topologia debole*.

Si tratta di una motivazione per avere diverse topologie su uno stesso spazio: la sfera unitaria nella topologia della norma è compatta se e solo se lo spazio è finito-dimensionale (si veda il lemma di Riesz).

Un caso speciale è la versione del teorema che utilizza la compattezza per successioni: la sfera unitaria chiusa di uno spazio normato separabile è sequenzialmente compatta nella topologia debole*. Infatti, la topologia debole* sulla sfera unitaria chiusa del duale di uno spazio separabile è metrizzabile, e quindi compattezza e compattezza sequenziale sono equivalenti. Nello specifico, sia X uno spazio normato separabile e B la sfera unitaria chiusa in X^*. Dato che X è separabile, sia \{ x_n \} un suo sottoinsieme numerabile denso. Allora si può definire una metrica:

\rho(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \, 2^{-n} \, \frac{\left|\langle x-y, x_n\rangle\right|}{1 + \left|\langle x-y, x_n\rangle\right|} \qquad x,y \in B

dove \langle\cdot,\cdot\rangle indica l'accopiamento duale tra X e X^*. Con un argomento diagonale simile a quello utilizzato per provare il teorema di Ascoli-Arzelà si mostra che B con tale metrica è sequenzialmente compatto.

La versione "per successioni" del teorema è utilizzata nell'ambito delle PDE per costruire soluzioni di problemi variazionali: ad esempio, un metodo spesso utilizzato per minimizzare un funzionale F: X^* \to {\Bbb R} definito sul duale di uno spazio vettoriale normato separabile X è quello di costruire una successione x_1, x_2, \ldots \in X^* che si avvicina all'estremo inferiore dei valori assunti da F, e utilizzare il teorema per estrarre una sottosuccessione convergente nella topologia debole* al limite x, che si assume un "minimizzatore".

Se X^* è lo spazio delle misure di Radon sulla retta reale (in modo che X = C_0({\Bbb R}) è lo spazio delle funzioni continue che si annullano all'infinito per il teorema di rappresentazione di Riesz) il teorema nella versione per successioni è equivalente al teorema di Helly.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni x \in X, siano:

D_x=\{z\in\mathbb{C}: \left|z\right|\leq \|x\|\} \qquad D=\Pi_{x\in X} D_x

Dato che ogni D_x è un sottoinsieme compatto del piano complesso, D è compatto anche nella topologia prodotto per il teorema di Tychonoff. Si può identificare in modo naturale la sfera unitaria chiusa B_1(X^*) in X^* come un sottoinsieme di D:

 f \in B_1\left(X^*\right) \mapsto (f(x))_{x \in X} \in D

Si tratta di una mappa iniettiva e continua, di cui anche l'inversa (definita sull'immagine) è continua, con B_1(X^*) che possiede la topologia debole* e D la topologia prodotto. Se si ha una rete:

(f_{\alpha}(x))_{x \in X} \rightarrow (\lambda_x)_{x \in X}

in D, allora il funzionale definito da:

g(x) = \lambda_x

è in B_1(X^*). Essendo l'immagine di f chiusa, il teorema è provato.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio di dimensione finita, grazie al teorema di Bolzano-Weierstrass, da una successione limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Questa proprietà delle successioni limitate risulta utile per dimostrare alcuni teoremi fondamentali nell'analisi matematica. Purtroppo tale teorema non è più vero se lo spazio ha dimensione infinita. Ad esempio la successione dei versori nello spazio L^\infty è limitata ma non ammette sottosuccessioni convergenti. Grazie al teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki la successione ammette per lo meno una sottosuccessione debolmente* convergente.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Bourbaki-Alaoglu è una generalizzazione che si deve a Bourbaki per topologie duali. Dato uno spazio localmente convesso separabile X avente duale continuo X', l'insieme polare U^0 di ogni intorno U in X è compatto nella topologia debole \sigma( X',X) su X'.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Haïm Brezis, Analisi funzionale, Napoli, Liguori, 2006.
  • (EN) John B. Conway, A course in functional analysis, 2nd, Berlin, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5. Chapter 5, section 3.
  • (EN) W. Rudin, Functional Analysis, 2nd, Boston, MA, McGraw-Hill, 1991, ISBN 0-07-054236-8. Section 3.15, p. 68.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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