Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki

Il Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki è uno dei più importanti teoremi di analisi funzionale, una branca della matematica. Esso afferma che, dato uno spazio di Banach X separabile, ogni successione limitata in X^* ammette una sottosuccessione debolmente-* convergente. Si tratta sostanzialmente della convergenza debole su X^*, ma testata non su tutti gli elementi di X^**, ma solo su quelli di $\tau(X)$, dove $\tau$ è la mappa canonica.

Conseguenze del teorema

In uno spazio di dimensione finita, grazie al teorema di Bolzano-Weierstrass, da una successione limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Questa proprietà delle successioni limitate risulta utile per dimostrare alcuni teoremi fondamentali nell'analisi matematica. Purtroppo tale teorema non è più vero se lo spazio ha dimensione infinita. Ad esempio la successione dei versori nello spazio $L ^\infty$ è limitata ma non ammette sottosuccessioni convergenti. Grazie al teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki la successione ammette per lo meno una sottosuccessione debolmente * convergente.

Bibliografia

Haïm Brezis, Analisi funzionale, Napoli, Liguori, 2006.

Voci correlate

• Nicolas Bourbaki
• Spazio duale
• Stefan Banach

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