Lemma di Riesz

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, il lemma di Riesz specifica le condizioni che garantiscono che un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale normato sia denso. Il lemma è dovuto a Frigyes Riesz.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio vettoriale normato con norma \| \cdot \|, sia x un elemento di X e sia Y un sottospazio di X. Si definisce la distanza tra un elemento x e Y nel seguente modo:

d(x, Y) = \inf_{y \in Y} |x - y| \

Il lemma di Riesz afferma che se esiste 0<r<1 tale che:

d(x,Y)>r \

per ogni x \in X di modulo unitario, allora Y è denso in X.[1] In modo equivalente, per ogni sottospazio chiuso Y si può sempre trovare un vettore x appartenente alla sfera unitaria di X tale che la sua distanza con Y sia arbitrariamente vicina a 1. Nel caso in cui la dimensione dello spazio è finita la distanza d(x,Y) può essere uguale a 1.

Come conseguenza, ogni spazio normato di dimensione infinita contiene una successione di vettori unitari x_n tali che:

|x_n - x_m| > k \qquad 0 < k < 1

Il lemma di Riesz consente pertanto di mostrare se uno spazio vettoriale normato ha dimensione infinita o finita. In particolare, se la sfera unitaria chiusa è compatta allora lo spazio ha dimensione finita.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga che Y non è denso in X. Allora la chiusura Y' di Y è un sottospazio proprio di X. Si consideri un vettore x che non appartiene a Y, si ha:

 d(x, Y') = d > 0 \

Quindi, per ogni k>1 esiste y_0 \in Y tale che:

d \leq | x - y_0 | <  kd \

Si consideri il vettore z=x-y_0, si ha:


\left|\frac{z}{|z|}  - y \right| = \frac{1}{|x - y_0|}  |(x - y_0) - y|z|| > \frac{1}{|x - y_0|} d > \frac{1}{k} \qquad \forall y \in Y

Scegliendo k arbitrariamente prossimo a 1 si ottiene la dimostrazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Bryan P. Rynne, Youngson, Martin A., Linear Functional Analysis, 2nd, Londra, Springer, 2008, p. 47, ISBN 978-1848000049.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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