Radice quadrata di 2

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Radice quadrata di 2
Simbolo \sqrt{2}
Valore 1, 414213562373095048801...
(sequenza A002193 dell'OEIS)
Frazione continua [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...]
(sequenza A040000 dell'OEIS)
Insieme numeri algebrici irrazionali
Costanti correlate Costante deliana
Square root of 2 triangle.svg
La radice quadrata di due è uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti lunghi uno

In matematica, la radice quadrata di due (√2) - anche conosciuta come costante di Pitagora - è un numero reale irrazionale risultato dell'operazione di estrazione della radice quadrata dal numero 2, ovvero il numero che moltiplicato per se stesso dà esito 2.

Il suo valore approssimato alla cinquantesima cifra decimale è:

1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694...

A tale numero la storia assegna la scoperta dell'irrazionalità e in termini geometrici, è la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti pari ad uno.

Storia[modifica | modifica sorgente]

I babilonesi diedero la prima approssimazione di \sqrt {2} , tramite

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} \approx 1,414213562373095...


Un'altra approssimazione di questo numero è quella data da un antico testo matematico indiano, il Sulbasutras, che cita:

« Aumenta la lunghezza [del lato] della sua terza parte, poi aggiungi la sua dodicesima parte, infine sottrai un trentaquattresimo della sua dodicesima parte »

Ovvero

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{12} - \frac{1}{12 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686


Questa antica approssimazione indiana è la settima nella serie di sempre più accurate approssimazioni basate sui numeri di Pell, che possono essere ricavate dalla frazione continua di \sqrt {2} .

Algoritmi computazionali[modifica | modifica sorgente]

Con l'approssimazione si può conoscere un gran numero di cifre decimali di questo numero.

Esiste una gran quantità di algoritmi atti a calcolare le cifre di \sqrt {2} , tuttavia il più usato dai calcolatori è ancora il vecchio metodo babilonese di calcolo delle radici: si scelga un qualunque valore iniziale F_0 ; poi, utilizzandolo come primo valore, iterare la seguente funzione ricorsiva:

F_{n+1} = \frac{F_n + \frac{2}{F_n}}{2} ,


Maggiore è il numero di iterazioni, migliore sarà la precisione del risultato. Nel febbraio 2006 utilizzando questo metodo sono state calcolate 200 000 000 000 cifre in 13 giorni e 14 ore. Tra le costanti matematiche irrazionali non periodiche, solo π è stata calcolata con maggior precisione.

Prove dell'irrazionalità[modifica | modifica sorgente]

Dimostrazione per assurdo[modifica | modifica sorgente]

Si supponga per assurdo che \sqrt{2} sia razionale, ovvero che sia possibile esprimerlo sotto forma di frazione m \over n, che si assume irriducibile:

{m \over n}= \sqrt{2}

dalla quale

{m^2 \over n^2}=2

ovvero

m^2=2n^2

Il termine 2n^2 è pari, pertanto anche m^2 è pari, e conseguentemente m stesso dev'essere pari (il quadrato di un numero dispari è sempre dispari), quindi esiste un opportuno k tale per cui m=2k. Sostituendo, si ottiene:

(2k)^2 = 2n^2

che, sviluppando il quadrato e semplificando, diventa

2k^2 = n^2

Con identico ragionamento, essendo ora 2k^2 pari si deduce che anche n^2, e quindi n stesso, siano a loro volta pari.

Sia m che n risultano pertanto essere pari, il che contraddice l'ipotesi iniziale che {m \over n} sia irriducibile: se ne conclude che \sqrt {2} non è esprimibile sotto forma di frazione, ovvero è irrazionale.

Dimostrazione con il teorema fondamentale dell'aritmetica[modifica | modifica sorgente]

Un dimostrazione alternativa si basa sul teorema fondamentale dell'aritmetica. Innanzitutto si ipotizza che \sqrt 2 sia razionale. Da qui consegue che (vedere dimostrazione precedente)

a^2 = 2b^2


Ma, dal teorema fondamentale dell'aritmetica, a e b hanno una fattorizzazione diversa, tale che a = 2^x m e b = 2^y n con x e y interi positivi e m e n interi positivi pari. Da qui otteniamo che

a^2 = 2^{2x} m^2

e


b^2 = 2^{2y} n^2


Sostituendo nella prima formula:

2^{2x} \cdot m^2 = 2 \cdot 2^{2y} n^2\,


dalla quale, operando a destra:

2^{2x} \cdot m^2 = 2^{2y+1} \cdot n^2



Ciò comporta che una fattorizzazione di 2 con potenza pari (2x è certamente pari) è uguale ad una fattorizzazione di 2 con potenza dispari (2y+1). Questo contraddice il teorema fondamentale dell'aritmetica, e quindi, per assurdo, è dimostrato che \sqrt 2 è irrazionale.

Dimostrazione analitica[modifica | modifica sorgente]

  • Lemma 1: sia \alpha \in \mathbb{R}^+ e p_1,p_2,\dots, q_1, q_2, \dots \in \mathbb{N} tali che \left|\alpha q_n - p_n \right| \neq 0 per ogni n \in \mathbb{N} e

\lim_{n \rightarrow \infty} p_n = \lim_{n \rightarrow \infty} q_n = \infty

\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \alpha q_n - p_n \right| = 0

allora \alpha è irrazionale.

Prova: supponiamo \alpha = a /\ \! b con a,b \in \mathbb{N}^+.

Per n sufficientemente grande avremo

0 < \left| \alpha q_n - p_n \right| < 1 /\ \! b

quindi

0 < \left| a q_n /\ \! b - p_n \right| < 1 /\ \! b

0 < \left| a q_n - b p_n \right| < 1

ma essendo a q_n - b p_n un intero ciò è assurdo, da cui \alpha è irrazionale.

  • \sqrt{2} è irrazionale.

Prova: poniamo p_1 = q_1 = 1 e

p_{n+1} = p_n^2 + 2 q_n^2

q_{n+1} = 2 p_n q_n

per ogni n \in \mathbb{N}.

Dimostramo per induzione che vale

0 < \left| \sqrt{2} q_n - p_n \right| < 1 /\ \! 2^{2^{n-1}}

per ogni n \in \mathbb{N}. La tesi vale per n=1, infatti

0 < \left| \sqrt{2} q_1 - p_1 \right| < 1 /\ \! 2

e se vale per n allora vale per n=n+1 poiché

0 < \left| \sqrt{2} q_n - p_n \right|^2 < 1 /\ \! 2^{2^n}

0 < \left| \sqrt{2} (2 p_n q_n) - (p_n^2 + 2 q_n^2) \right| < 1 /\ \! 2^{2^n}

0 < \left| \sqrt{2} q_{n + 1} - p_{n + 1} \right| < 1 /\ \! 2^{2^n}

Infine applicando il lemma 1 segue l'irrazionalità di \sqrt{2}.

Dimostrazione con i numeri 2-adici[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo l'equazione x^2 = 2 su \mathbb{Q}_2 (il campo dei numeri 2-adici), essa non ha soluzione poiché la valutazione p-adica del primo membro è pari mentre quella del secondo membro è dispari. D'altra parte \mathbb{Q}_2 è un'estensione di \mathbb{Q}, quindi se l'equazione non ha soluzioni in \mathbb{Q}_2 non ha neanche soluzioni in \mathbb{Q} e \pm \sqrt{2} è irrazionale.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La metà di \sqrt 2 , uguale circa a 0.70710 67811 è un numero comune in geometria e trigonometria, poiché le coordinate del versore che forma un angolo di 45º con gli assi di un piano cartesiano ortogonale sono

\left( \frac{\sqrt 2}{2}, \frac{\sqrt 2}{2} \right)


Questo numero è comune inoltre poiché

\cos(45^ \circ) = \sin(45^ \circ) = \frac{\sqrt 2}{2}


Un'altra proprietà è che:

\frac{1}{\sqrt 2 - 1} = \sqrt 2 + 1


Inoltre

\sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \sqrt 2 \cdots } } = 2


\sqrt 2 può infine essere espressa utilizzando l'unità immaginaria utilizzando unicamente radici:

\sqrt 2 = \frac{ \sqrt i + i\sqrt i }{ i } = \frac{ \sqrt {-i} - i\sqrt {-i} }{ -i }

Formati della carta[modifica | modifica sorgente]

\sqrt 2 è approssimativamente il rapporto che intercorre fra il lato più corto e quello più lungo di un foglio di carta in uno dei formati previsti dello standard ISO 216, meglio noto come formati UNI. Questo rapporto garantisce che, tagliando un foglio a metà lungo la linea che unisce i due punti medi dei lati più lunghi, si ottengono due fogli più piccoli che mantengono lo stesso rapporto fra i lati.

Inoltre, se il foglio di partenza è in uno dei formati previsti dallo standard, anche i due fogli ottenuti tagliandolo a metà sono in formato standard. Il codice del formato dei due fogli più piccoli si ottiene aggiungendo 1 alla cifra del codice del foglio grande di partenza. Ad esempio, se si taglia a metà un foglio in formato A4 (210 × 297 mm, il formato della comune carta da lettere), si ottengono due fogli in formato A5 (148 × 210 mm, il formato di una pagina di quaderno).

Rappresentazioni tramite serie e prodotti[modifica | modifica sorgente]

L'identità

\sin {\left( \frac{\pi} 4 \right)} = \cos {\left( \frac{\pi} 4 \right)} = \frac{\sqrt 2}{2} \,


insieme alle rappresentazioni tramite prodotti infiniti delle funzioni seno e coseno consentono di ricavare formule quali

\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty
\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots


oppure

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots


o

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.


Il numero può anche essere espresso tramite la Serie di Taylor di funzioni trigonometriche. Ad esempio, la serie per cos(π/4) dà

\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!} = 
1 -
\frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2!} +
\frac{(\frac{\pi}{4})^4}{4!} -
\frac{(\frac{\pi}{4})^6}{6!} + \cdots.

Rappresentazione tramite frazione continua[modifica | modifica sorgente]

La rappresentazione di \sqrt 2 tramite frazione continua è

 \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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