Matrice intera

In matematica, una matrice intera è una matrice i cui elementi sono tutti numeri interi.

Alcuni esempi sono le matrici binarie, la matrice zero, la matrice identità e le matrici di adiacenza utilizzate nella teoria dei grafi. Le matrici intere trovano frequente applicazione in combinatoria.

Esempi

Le matrici

$\left({\begin{array}{cccr}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&\!\!\!-3\\9&0&2&1\end{array}}\right)$e$\left({\begin{array}{ccc}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{array}}\right)$

sono esempi di matrici intere.

Proprietà

L'invertibilità delle matrici intere è in generale numericamente più stabile di quella delle matrici non intere. Il determinante di una matrice intera è esso stesso un numero intero, quindi il valore numericamente più piccolo possibile del determinante di una matrice intera invertibile è uno, quindi nei casi in cui esistono, le matrici inverse non diventano eccessivamente grandi (vedi condizione numero ). I teoremi della teoria delle matrici che deducono le proprietà dai determinanti evitano così i problemi indotti da matrici con valori reali o in virgola mobile mal condizionate (ovvero con determinanti quasi nulli).

L'inversa di una matrice intera $M$ è ancora una matrice intera se e solo se il determinante di $M$ è uguale a $1$ o $-1$. Matrici intere con determinante $1$ formano il gruppo $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {Z} )$, che ha vaste applicazioni in aritmetica e geometria . Tale gruppo, per $n=2$, è strettamente correlato al gruppo modulare.

L'intersezione delle matrici intere con il gruppo ortogonale è il gruppo delle matrici di permutazione con segno .

Il polinomio caratteristico di una matrice intera ha coefficienti interi. Poiché gli autovalori di una matrice sono le radici di questo polinomio, gli autovalori di una matrice intera sono interi algebrici . In dimensione minore di 5, possono quindi essere espressi da radicali che coinvolgono numeri interi.

Le matrici intere sono talvolta denominate da alcuni autori matrici integrali; tuttavia l'uso di tale denominazione è sconsigliabile in quanto potenzialmente foriera di confusione.

Voci correlate

• Matrice unimodulare

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice intera, su MathWorld, Wolfram Research.