Funzione E di MacRobert

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La funzione E fu definita da Thomas Murray MacRobert nel 1938 per generalizzare la funzione ipergeometrica generalizzata \;_{p}F_{q} (\cdot) al caso p > q + 1. Lo scopo finale era quello di introdurre una funzione talmente generale che potesse includere come caso particolare la maggioranza delle funzioni speciali note fino ad allora. Tuttavia tale funzione non ha avuto grande seguito in letteratura perché può essere sempre espressa in termini della funzione G di Meijer, mentre non è vero il contrario, quindi la funzione G ha validità ancora più generale.


Definizione[modifica | modifica sorgente]

Ci sono vari modi di poter definire la funzione E; il seguente è in termini della funzione ipergeometrica generalizzata:

  • se p < q e x \neq 0 oppure p = q + 1 e |x|>1 :


E \left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \; x \right) = \frac{\prod_{k=1}^{p}\Gamma (a_k)}{\prod_{j=1}^{q} \Gamma (b_j)} 
\;_{p}F_{q} \left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \; - \frac{1}{x} \right)

  • se p \geq q+1:


E \left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \; x \right) = \sum_{n = 1}^{p} \frac{\prod_{k = 1}^{p} \Gamma (a_k - a_n)^*}{\prod_{j = 1}^{q} \Gamma (b_j - b_n)^*} \Gamma (a_n) x^{a_n}
\;_{q+1}F_{p-1} \left( \left. \begin{matrix} a_n , a_n - b_1 + 1, \dots, a_n - b_q + 1 \\ a_n - a_1 , \dots, *, \dots, a_n - a_p + 1 \end{matrix} \; \right| \; (-1)^{p+q}x \right)

Gli asterischi ricordano di trascurare i casi a_k = a_n e b_j = b_n, rimpiazzando gli zeri che si otterrebbero nella produttoria con un 1. Come è evidente, è valida per qualsiasi valore di p e q.

Relazione con la funzione G di Meijer[modifica | modifica sorgente]

La funzione E si può sempre esprimere in termini della funzione G di Meijer nel seguente modo:


E \left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \; x \right)  = 
G_{q+1,p}^{p,1} \left( \left. \begin{matrix} 1,\mathbf{b_q} \\ \mathbf{a_p} \end{matrix} \; \right| \; x \right)
non ci sono limitazioni sui valori di parametri, ovvero tale relazione ha validità generale.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Andrews, L. C. (1985), Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians. New York: MacMillan
  • Erdélyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F., e Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: McGrawHill, pp. 203-206, 1953.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica