Distribuzione lognormale

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Distribuzione lognormale
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri \mu\in\mathbb{R}
\sigma^2\in\mathbb{R}^+_0
Supporto \mathbb{R}^+_0
Funzione di densità \frac{e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}{\sigma}x}
Funzione di ripartizione \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{erf}\left(\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)
Valore atteso e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}
Mediana e^{\mu}\
Moda e^{\mu-\sigma^2}
Varianza e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)
Indice di asimmetria (e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1}
Curtosi e^{4\sigma^2}+2e^{3\sigma^2}+3e^{2\sigma^2}-6
Entropia \frac{1}{2}+\mu+\frac{1}{2}\log(2\pi\sigma^2)
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione lognormale, o log-normale, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X il cui logaritmo \log X segue una distribuzione normale.

Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive indipendenti.

Viene utilizzata anche in matematica finanziaria.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La variabile aleatoria X=e^N segue la distribuzione lognormale \log\mathcal{X}(\mu,\sigma^2)se e solo se N=\log X segue la distribuzione normale \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).

La sua funzione di densità di probabilità è

f(x)=\frac{e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{x \sqrt{2\pi}{\sigma}} per x>0.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di ripartizione della distribuzione lognormale è

F(x) = \Phi_{(\mu,\sigma)}(\ln x) = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\text{erf}\left(\frac{\ln x - \mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)

dove \Phi_{(\mu,\sigma)} è la funzione di ripartizione della distribuzione normale ed \text{erf} è la funzione degli errori.

I momenti semplici della distribuzione possono essere dedotti dalla funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale di N=\log X

\mu_n(X)=E[X^n]=E[e^{nN}]=g_N(n)=e^{n\mu+n^2\frac{\sigma^2}{2}}.

In particolare si trovano

E[X]=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}
\text{Var}(X) = E[X^2]-E[X]^2 = e^{2\mu}(e^{2\sigma^2}-e^{\sigma^2}) = e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1).

I parametri (\mu,\sigma^2) possono essere ricavati dalla speranza e dalla varianza, utilizzando la relazione \tfrac{\text{Var}(X)}{E[X]^2}=e^{\sigma^2}-1.

Gli indici di asimmetria e curtosi sono

\gamma_1=(e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1} e \gamma_2=e^{4\sigma^2}+2e^{3\sigma^2}+3e^{2\sigma^2}-6.

La moda della distribuzione è e^{\mu-\sigma^2}.

La mediana è q_{1/2}=e^\mu e si trova immediatamente tramite la mediana \mu di N=\log X: \tfrac{1}{2}=P(N\leqslant\mu)=P(X=e^N\leqslant e^\mu).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se X è una variabile aleatoria con distribuzione lognormale \log\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) allora

  • N=\log X segue la distribuzione normale \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).

Per ogni trasformazione lineare (invertibile)

  • aN+b segue ancora una distribuzione normale \mathcal{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2) e
  • e^{aN+b}=e^bX^a segue una distribuzione lognormale \log\mathcal{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2).

In particolare seguono una distribuzione lognormale

  • i multipli scalari cX,
  • le potenze X^a
  • e l'inverso X^{-1} di X.

Per la definizione di distribuzione lognormale non è importante che venga scelto il logaritmo naturale, ovvero la base e: due distinti logaritmi \log_a X e \log_b X differiscono soltanto di un fattore \tfrac{\log a}{\log b}.

La distribuzione lognormale svolge un ruolo simile a quello della distribuzione normale, la quale può fornire un'approssimazione per la somma di "molte" variabili aleatorie indipendenti X_1,...X_n aventi una stessa distribuzione (teorema del limite centrale). Se le X_i sono positive allora la distribuzione lognormale può fornire un'approssimazione per il loro prodotto (così come la distribuzione normale può fornire un'approssimazione per la somma dei loro logaritmi, \textstyle\log(\prod_iX_i)=\sum_i\log X_i).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica