Derivata totale

Nel calcolo differenziale la derivata totale di una funzione di più variabili è la derivata della funzione che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse. In altri termini la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Definizione

Sia data una funzione M(t, p₁, ..., p_n) dipendente da t e da n variabili $p_i$ che a loro volta dipendono da t. La derivata totale di M rispetto a t è:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname d t} M \bigl(t, p_1(t), \ldots, p_n(t)\bigr) = \frac{\partial M}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t} = \biggl(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t}\frac{\partial}{\partial p_i}\biggr)(M).$

Più formalmente, siano $A$ un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}^k$ e $x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t)$ funzioni definite nell'intervallo $]a,\,b[$ di $\mathbb{R}$. Sia $f$ una funzione definita nell'insieme $A$: $f:A\rightarrow\mathbb{R}$. Se $\forall t\in ]a,b[$ il punto $\bold{x}(t) = (x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t))\in A$, possiamo considerare la funzione $F:]a,b[\rightarrow\mathbb{R}$ definita $\forall t\in ]a,b[$ da $F(t)=f(\bold{x}(t))$.

È allora dimostrabile il seguente teorema:

Se le funzioni $x_i(t) (i=1,2,\dots,k)$ sono derivabili nel punto $t_0$ di $]a,b[$ e se la funzione $f$ è differenziabile nel punto $\bold{x}(t_0)$ di $A$, la funzione $F$ è derivabile in $t_0$ e si ha:

$F'(t_0) = \sum_{i=1}^k f_{x_i}(\bold x(t_0))x'_i(t_0)$

Se poniamo $k=4$ ed

$x_1(t)=x(t),\,x_2(t)=y(t),\,x_3(t)=z(t),\, x_4(t)=t$

l'ultima espressione diviene:

$F'(t_0) = \left(\frac{d}{dt}f(x(t),y(t),z(t),t)\right)_{t=t_0} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{t=t_0}$

Applicazione in meccanica del continuo

In generale in meccanica del continuo si è interessati a conoscere da un punto di vista euleriano la derivata totale temporale di una grandezza fisica associata al fluido che passa per un punto materiale fisso (x,y,z) all'istante t. Purtroppo spesso si incontra la notazione $\frac{Df}{Dt}$ al posto della usuale e già bastevole $\frac{df}{dt}$, che vorrebbe ancora ribadire la differenza con la derivata parziale. Inoltre essa viene indicata come derivata sostanziale e con molti altri nomi diversi: derivata materiale, derivata lagrangiana, derivata convettiva, derivata advettiva, derivata sostantiva, derivata di Stokes, derivata di particella, derivata idrodinamica, derivata seguendo il moto, con evidente disobbedienza al rasoio di Ockham. Presa una grandezza fluidodinamica:

$f = f(x,y,z,t)\,\!$

il suo differenziale sarà:

$df={\partial f\over\partial x}dx+{\partial f\over\partial y}dy+{\partial f\over\partial z}dz+{\partial f\over\partial t}dt$.

La derivata totale di f ad esempio rispetto al tempo vale:

$\frac{d}{dt}f(x(t),y(t),z(t),t)= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}u(t) +\frac{\partial f}{\partial y}v(t) + \frac{\partial f}{\partial z}w(t)+\frac{\partial f}{\partial t}$

dove $\mathbf{v}(t)=(u(t),\, v(t),\, w(t))$ è la velocità della particella fluida.

Utilizzando l'operatore nabla (esteso alle sole coordinate geometriche) la precedente espressione diviene, indicando con $\nabla$ solo le componenti spaziali del gradiente:

$\frac{df}{dt}=\nabla f \cdot \mathbf{v} + \frac{\partial f}{\partial t}$

• Il primo termine che compare è il termine di sorgente: ${\partial f \over\partial t}$

e tiene conto della non stazionarietà del campo di moto del flusso che sussiste quando le varie grandezze sono tutte funzioni esplicite del tempo.

Se il moto è stazionario allora: ${\partial f\over\partial t}=0$
e le varie grandezze non dipendono esplicitamente dal tempo.

• Il secondo termine è il termine convettivo:

${\mathbf{v} \cdot \nabla f}$

e tiene conto della variazione di una grandezza per una particella che è trasportata attraverso un gradiente di velocità. La particella sarà sottoposta ad una variazione di grandezza solo se il prodotto scalare non sarà nullo, ossia solo se la velocità della particella non sarà perpendicolare alla direzione del gradiente della grandezza.

Bibliografia

• Structure and Interpretation of Classical Mechanics
• Ira M. Cohen, Pijush K. Kundu: Fluid Mechanics, 4th edition, Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9
• Michael Lai, Erhard Krempl, David Ruben: Introduction to Continuum Mechanics, 4th edition, Elsevier, ISBN 978-0-7506-8560-3

Voci correlate

• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Gradiente
• Nabla
• Divergenza
• Laplaciano

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