Rappresentazione di Schrödinger

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In meccanica quantistica, uno stato è dato da una combinazione lineare (o sovrapposizione) di autostati. Nella rappresentazione di Schrödinger (in inglese Schrödinger picture) gli stati del sistema evolvono nel tempo. L'evoluzione per un sistema quantistico chiuso è data da un operatore unitario chiamato operatore di evoluzione temporale.

Rappresentazioni alternative sono la rappresentazione di Heisenberg e la rappresentazione di interazione.

L'operatore di evoluzione temporale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore di evoluzione temporale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore è definito come:

Ossia, quando l'operatore agisce sullo stato ket al tempo restituisce il ket evoluto al tempo successivo . Per i bra, invece vale:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Unitarietà[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Questo perché la norma dello stato non deve cambiare con il tempo essendo legata alla probabilità, che si deve conservare. Quindi:

allora:

Riduzione all'identità[modifica | modifica wikitesto]

dove è l'operatore identità. Quindi:

Composizione[modifica | modifica wikitesto]

L'evoluzione temporale da a può essere vista come l'evoluzione da a e quindi da a . Pertanto:

Equazione differenziale per l'operatore di evoluzione temporale[modifica | modifica wikitesto]

Nel seguito si assumerà che e . L'equazione di Schrödinger si può scrivere come:

Con Hamiltoniana del sistema. Sia lo stato al tempo abbiamo che vale:

ovvero abbiamo scritto che l'operatore di evoluzione temporale rispetta l'equazione di Schrödinger, una soluzione di questa equazione è:

Dove abbiamo usato anche che il fatto che a , si riduce all'identità. Quindi otteniamo:

Si noti che è un ket arbitrario. Tuttavia, se partiamo con un ket che sia autostato dell'Hamiltoniana, con autovolare , abbiamo:

Quindi vediamo che gli autostati dell'Hamiltoniana sono stati stazionari, essi ricevono solamente un fattore di fase quando evolvono nel tempo quindi un sistema che si trovi al tempo in un autostato, rimane in quell'autostato.

Se l'Hamiltoniana dipende dal tempo ma Hamiltoniane a tempi diversi commutano allora l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere:

con operatore di ordinamento temporale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press.
  • Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]