Operatore di evoluzione temporale

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L'operatore di evoluzione temporale in meccanica quantistica è un operatore che agisce su uno stato del sistema e opera l'evoluzione di questo stato negli istanti successivi. Dobbiamo chiarire che in meccanica quantistica (non relativistica) non esiste un operatore tempo, cioè il tempo non è una osservabile ma un parametro.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una particella quantistica o un sistema fisico descritto all'istante da un vettore di stato e consideriamo il vettore di stato al tempo identificato con . L'evoluzione è operata dall'operatore di evoluzione temporale:

(1)

perché deve potersi determinare da .

Vediamo le proprietà di questo operatore. Per la conservazione della probabilità, lo stato al tempo deve essere normalizzato a 1, quindi:

e questo implica che

(2)

cioè l'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Inoltre per il nostro operatore deve eseguire una trasformazione identitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità, cioè:

Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due evoluzioni temporali consecutive, deve portare ad una evoluzione somma:

Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di evoluzione temporale infinitesimale:

(3)

dove è l'operatore identità e è il generatore dell'evoluzione temporale e deve essere un operatore hermitiano, infatti:

ossia:

e questo prova anche che l'operatore è un operatore unitario.

Per vedere quale sia il generatore dell'evoluzione temporale infinitesimo possiamo utilizzare l'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica temporale infinitesima delle coordinate generalizzate e degli impulsi:

La funzione che genera tale trasformazione canonica è:

(4)

dove genera una trasformazione identica. Dal confronto della (3) con la (4) possiamo supporre che coincida a meno di un fattore costante con l'hamiltoniana del sistema. Il fattore costante in questione è la costante di Planck razionalizzata poiché essa permette all'operatore temporale di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di evoluzione temporale infinitesima è:

(5)

Se ci si limita a considerare forze indipendenti dal tempo, l'operatore U dipende unicamente dall'intervallo e non dall'istante iniziale , che si può porre uguale a 0. In questo caso, vedremo che l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere in forma compatta come

(6)

Questo risultato si può dimostrare rigorosamente in virtù del Teorema di Stone.

Equazione di Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger.

L'operatore di evoluzione temporale infinitesimo è alla base dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, infatti se:

dividendo per e nel limite :

Applicato ad un generico vettore di stato :

dove H può dipendere esplicitamente dal tempo.

Stati stazionari[modifica | modifica wikitesto]

L'hamiltoniano di un sistema isolato o di un sistema che si trova in un campo esterno uniforme non contiene esplicitamente il tempo. È lecito quindi porre e scrivere senza perdere in generalità. Dall'equazione di Schrödinger si ricava

e per i vettori di stato:

.

Si definiscono stati stazionari quelli che non evolvono nel tempo, vale a dire e rappresentano lo stesso stato. Questo è vero se sono proporzionali, cioè

.

Si dimostra che

uno stato è stazionario se e solo se è autostato di H.

Ad esempio, se si ha che

.

Si vede così che la costante di proporzionalità c(t) è .

Se lo stato di partenza non è un autostato di H, ma questa ha un insieme completo di autovettori , è possibile effettuare uno sviluppo in serie:

al tempo l'evoluzione del vettore di stato è:

cioè il coefficiente generico dello sviluppo varia nel tempo come:

I moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato al tempo t, sono come sempre le probabilità di transizione dei diversi valori di energia del sistema: e la precedente mostra che tali probabilità restano costanti nel tempo.

Se H ha autovalori continui lo sviluppo in serie non è possibile e si avrà

.

Nel caso in cui H abbia solo autovalori continui (ad esempio nel caso di particella libera), non esistono autostati propri e quindi nemmeno stati stazionari.

Osservabili e costanti del moto[modifica | modifica wikitesto]

A partire dall'operatore U è possibile determinare come varia nel tempo il valor medio di qualunque osservabile A:

ed è chiaro che il valor medio di A è costante nel tempo su ogni stato stazionario. In particolare, per la posizione e per l'impulso si ha

.

Possono esistere osservabili il cui valor medio si mantiene costante su qualsiasi stato: queste si dicono costanti del moto. Si dimostra che

tutte e sole le costanti del moto sono le osservabili che commutano con H, ovvero [A,H]=0.

Analogo risultato vale in meccanica classica: le costanti del moto sono le funzioni che annullano la parentesi di Poisson con H.

Rappresentazione di Heisenberg[modifica | modifica wikitesto]

Per determinare il valor medio di A abbiamo scritto e introducendo l'operatore U si ha

e posto , si ha

.

Questa scrittura significa che stiamo tenendo fissi i vettori che descrivono lo stato del sistema, mentre sono le osservabili a dipendere dal tempo. Questo schema è formalmente identico alla meccanica classica: se , si trova l'equazione di Heisenberg

che corrisponde alle equazioni del moto classiche in forma di parentesi di Poisson.

Per una hamiltoniana nella forma si trovano due equazioni per q e p formalmente uguali alle equazioni di Hamilton:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
  • L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica
  • L.E. Picasso, Lezioni di Meccanica quantistica

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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