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Distribuzione di Fréchet Funzione di densità di probabilità Funzione di ripartizione Parametri
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0\ }
Supporto
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
Funzione di densità
α
x
−
1
−
α
e
−
x
−
α
{\displaystyle \alpha x^{-1-\alpha }e^{-x^{-\alpha }}\ }
Funzione di ripartizione
e
−
x
−
α
{\displaystyle e^{-x^{-\alpha }}\ }
Valore atteso
Γ
(
1
−
1
α
)
{\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}
α
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
(con
Γ
{\displaystyle \Gamma }
funzione Gamma )
Mediana
(
1
log
2
)
1
α
{\displaystyle \left({\frac {1}{\log 2}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}
Moda
(
α
α
+
1
)
1
α
{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}
Varianza
Γ
(
1
−
2
α
)
−
(
Γ
(
1
−
1
α
)
)
2
{\displaystyle \Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}}
α
>
2
{\displaystyle \alpha >2}
(con
Γ
{\displaystyle \Gamma }
funzione Gamma )
Manuale
In teoria delle probabilità la distribuzione di Fréchet è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali positivi.
Prende il nome dal matematico francese Maurice René Fréchet , che la descrisse nel 1927 .[1]
La distribuzione di Fréchet di parametro
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
funzione di ripartizione
F
(
x
)
=
e
−
x
−
α
{\displaystyle F(x)=e^{-x^{-\alpha }}}
la sua funzione di densità di probabilità è
f
(
x
)
=
α
x
−
α
−
1
e
−
x
−
α
{\displaystyle f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}}
La distribuzione di Fréchet di parametro
α
{\displaystyle \alpha }
momenti semplici
μ
k
=
∫
0
∞
x
k
f
(
x
)
d
x
=
α
∫
0
∞
x
k
−
α
−
1
e
−
x
−
α
d
x
{\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\alpha \int _{0}^{\infty }x^{k-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}dx}
Applichiamo un semplice cambio di variabili
t
=
x
−
α
,
d
t
=
−
α
x
−
α
−
1
d
x
{\displaystyle t=x^{-\alpha },\,dt=-\alpha x^{-\alpha -1}dx}
μ
k
=
∫
0
∞
t
−
k
α
e
−
t
d
t
{\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}dt}
Questo integrale converge qualora
1
−
k
α
>
0
⇒
k
<
α
{\displaystyle 1-{\frac {k}{\alpha }}>0\Rightarrow k<\alpha }
μ
k
=
Γ
(
1
−
k
α
)
{\displaystyle \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)}
k
<
α
{\displaystyle k<\alpha }
dove
Γ
{\displaystyle \Gamma }
funzione Gamma .
In particolare una variabile aleatoria con questa distribuzione
se
α
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
speranza matematica
E
[
X
]
=
Γ
(
1
−
1
α
)
{\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}
se
α
>
2
{\displaystyle \alpha >2}
varianza
Var
(
X
)
=
Γ
(
1
−
2
α
)
−
Γ
2
(
1
−
1
α
)
{\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-\Gamma ^{2}(1-{\tfrac {1}{\alpha }})}
I quantili
q
a
{\displaystyle q_{a}}
a
{\displaystyle a}
q
a
=
F
−
1
(
a
)
=
(
1
log
1
a
)
1
α
{\displaystyle q_{a}=F^{-1}(a)=\left({\frac {1}{\log {\tfrac {1}{a}}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}
In particolare la mediana è
q
1
/
2
=
(
1
log
2
)
1
α
{\displaystyle q_{1/2}=({\tfrac {1}{\log 2}})^{\frac {1}{\alpha }}}
La moda della distribuzione è
(
α
α
+
1
)
1
α
{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}
La distribuzione di Fréchet può essere generalizzata tramite altri due parametri,
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
variabile aleatoria
X
−
μ
σ
{\displaystyle {\tfrac {X-\mu }{\sigma }}}
X
{\displaystyle X}
F
(
x
)
=
e
−
(
x
−
μ
σ
)
−
α
{\displaystyle F(x)=e^{-({\frac {x-\mu }{\sigma }})^{-\alpha }}}
La distribuzione di Fréchet è una distribuzione generalizzata dei valori estremi , una famiglia di distribuzioni di probabilità che descrive anche la distribuzione di Weibull nel caso particolare in cui un parametro sia uguale a 1 e, come caso limite, la distribuzione di Gumbel .
^ (FR Sur la loi de probabilité de l'écart maximum , in Ann. Soc. Polon. Math. , vol. 6, 1927, pp. 93-116. 
![{\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f4b1a753eff200f2ff93b89d1401ebf10652d6)
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su distribuzione di Fréchet
