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Le Instituzioni Analitiche ad Uso della Gioventù Italiana è l'opera più importante che la matematica italiana Maria Gaetana Agnesi pubblica a Milano nel 1748. Il testo si propone come un manuale della matematica nota sino alla prima metà del 1700, gli argomenti trattati riguardano prevalentemente la geometria analitica.

Storia

Nel 1740 Maria Gaetana Agnesi si accinge alla stesura delle Instituzioni Analitiche. Il trattato viene scritto in italiano e non in latino, come quasi sempre avveniva per i testi scientifici: l’autrice stessa chiarisce, nella prefazione, che opera questa scelta per l’autorevole esempio di tanti celebri Matematici Oltramontani, ed Italiani […] sì pel [mio] rincrescimento alla materiale fatica di trascrivere in Latino ciò, che aveva di già scritto in Italiano. […] avendo avuto in mira più, che ogni altra cosa, la necessaria possibile chiarezza. L’Agnesi si trova così nella necessità di creare una nuova lingua, dal momento che in italiano, fino ad allora, non era stato ancora scritto alcun trattato così specifico: inventa parole e crea neologismi. La scelta di scrivere un compendio dell’analisi moderna in italiano ha contribuito ad una maggiore divulgazione della matematica in Italia, oltre ad esser stato proprio l’origine, riconosciuta dall’Accademia della Crusca, di gran parte della terminologia matematica italiana. Durante la stesura, l’Agnesi chiede continuamente consigli e giudizi ai più eminenti matematici dell’epoca, inviando loro parti della propria opera e accettando da loro ogni tipo di critica, purché costruttiva e dettata da una vera riesamina del testo, e di suggerimenti per la semplificazione della risoluzione di determinate questioni. Riceve così preziosi consigli, in particolare, dal conte Jacopo Riccati. Una volta terminato il testo, l’Agnesi si preoccupa di seguire in prima persona anche la stampa dell’opera. Durante il lavoro tipografico, essendo il testo ricco di formule e simboli, l’autrice collabora materialmente e talvolta dirige i compositori nella difficilissima connessione de’ caratteri, segni, e cifre Matematiche. Le Instituzioni vengono anche tradotte in altre lingue. In particolare il secondo libro viene trascritto in francese dall’abate Bossut dell’Académie Royale des Sciences e pubblicato a Parigi nel 1775 con alcune aggiunte per quanto riguarda il calcolo integrale delle quantità angolari e il calcolo differenziale delle espressioni del primo ordine. E ancora, nel 1801, visto l’uso che si faceva di quest’opera in sede accademica nel continente, viene pubblicata la traduzione inglese inedita di John Colson, professore a Cambridge morto nel 1760, cosa che contribuisce ulteriormente alla diffusione del libro.

Contenuti

L’opera esordisce con una dedica all’Imperatrice Maria Teresa d’Austria in cui Maria Gaetana Agnesi, con una leggera velatura critica, sottolinea il proprio sforzo e le proprie difficoltà nel portare a compimento il proprio lavoro anche alla luce del suo essere donna in un mondo in cui la femminilità è difficilmente protagonista, soprattutto negli studi. Nella prefazione il testo viene presentato come un aggiornamento de L’Analyse démontrée di padre Reyneau del 1708 e si ritrovano i ringraziamenti a tutti coloro che hanno reso possibile la pubblicazione dell'opera, in particolare l’abate Rampinelli e il conte Jacopo Riccati del quale, nel II tomo, si ritrova un metodo per l'integrazione dei polinomi mai presentato prima e comunicato direttamente all'autrice negli scambi epistolari avvenuti fra i due durante la gestazione. L’opera, suddivisa in due libri, è strutturata in quattro tomi e ciascun tomo in numerosi capitoli che l’autrice chiama capi.

Primo Libro

Il I tomo, Dell’Analisi delle Quantità Finite, suddiviso in sei capi, inizia descrivendo l’Aritmetica speciosa o Algoritmo delle quantità, ovvero l’algebra, e mostrando come trattando le quantità finite si sciolgono i Problemi principalmente di natura geometrica. Nella definizione delle operazioni primarie l’Agnesi fa un grande uso delle proporzioni. Ogni definizione, data in maniera discorsiva, è corredata da alcuni esempi: lei stessa spiega come a volte le regole per operare con le quantità letterali siano più difficili da descrivere che da applicare. Nel II capo, Delle Equazioni e de’ Problemi piani determinati, definisce le equazioni come la formalizzazione di problemi di geometria e algebra i quali, quindi, risultano essere equazioni parlate. Per quanto riguarda le nozioni elementari di geometria, l’Agnesi rimanda agli Elementi di Euclide, che considera come prerequisito per la comprensione del testo. Descrive una breve classificazione dei differenti problemi in base al grado dell’equazione risolvente, precisando però che, prima di determinare effettivamente il grado di un problema, è necessario verificare che quest'ultima sia irriducibile o che, comunque, non possa essere considerata e studiata come di grado inferiore (come ad esempio le biquadratiche) e rimanda al IV capo la trattazione dei metodi di riduzione necessari per questo riconoscimento. Il II e il III capo trattano Della Costruzione de’ Luoghi, e de’ Problemi indeterminati che, non eccedono il secondo grado, il IV Delle Equazioni, e de’ Problemi solidi e il V Della Costruzione de’ Luoghi che superano il secondo grado. Per risolvere problemi in cui le quantità da determinare sono più d’una l’Agnesi introduce i sistemi di più equazioni in più incognite, risolti per sostituzione e per riduzione, e specifica i casi in cui il problema risulta impossibile, indeterminato o determinato. Per i problemi nella cui risoluzione adopera una rappresentazione grafica si preoccupa sempre, quando la soluzione è un numero razionale, di visualizzarla come un segmento ben determinato attraverso il metodo delle proporzioni. Nel III capo la soluzione dei problemi descrive sempre un luogo geometrico che è una delle sezioni coniche d’Apollonio, le cui proprietà geometriche elementarivengono date per note. Dunque le coniche vengono introdotte come luoghi di equazioni al più di secondo ordine in ciascuna delle incognite. Il IV capo presenta alcune regole per lo studio delle radici di un'equazione. Esaminando alcuni esempi mostra come un’accorta scelta delle quantità da considerare incognite renda più o meno facile la risoluzione analitica dei problemi. Vengono poi descritti alcuni metodi risolutivi, come quello di Cardano, per le equazioni di grado superiore al secondo determinando, in base ad essi, una classificazione delle cubiche. Nella trattazione di questo tipo di problemi viene dato maggior risalto alla risoluzione grafica. Nel V capo l’Agnesi presenta lo studio di funzione e, proseguendo, studia con particolare cura alcune fra le curve più note, come la cissoide di Diocle, la versiera, la concoide di Nicomede ed altre, e ne viene data anche una costruzione in termini geometrici, ovvero considerando le trasformazioni di similitudine e di congruenza di triangoli che si vengono a creare fra gli assi e la curva. Nell’ultimo capo del tomo l’autrice affronta lo studio per determinare la tangente, la normale, il cerchio osculatore e i punti di flesso di una curva senza l’ausilio del calcolo differenziale, metodo affrontato nel tomo successivo. La trattazione degli argomenti è piuttosto complicata e artificiosa, ma l'Agnesi vuole fornire la possibilità anche allo studente del tutto digiuno di derivate e quant’altro di conoscere queste nozioni e di saperle adoperare per lo studio delle curve.

Secondo Libro

Il secondo libro viene pubblicato con un anno di ritardo rispetto al primo per via delle ultime correzioni. Il II tomo, Del Calcolo Differenziale, si occupa di trattare tutte le regole del calcolo differenziale. Il I capo, Dell’Idea de’ Differenziali di diversi ordini, e del Calcolo de’ medesimi, contiene l’unico Teorema dell’opera, che, con i corollari annessi, enuncia la proprietà secondo cui ogni curva, considerandone un tratto infinitesimo, sia approssimabile con un tratto di circonferenza. L’Agnesi propone la costruzione geometrica dei differenziali di ogni ordine attraverso considerazioni di proporzionalità su triangoli simili, i sistemi di coordinate adottati di volta in volta non necessariamente sono ortogonali e viene introdotta anche la coordinata curvilinea s, per indicare il tratto infinitesimo di curva con l’espressione ds. Il II capo, Del Metodo delle Tangenti, introduce le definizioni di tangente, sottotangente e normale ad una curva data. Viene costruita la spirale di Archimede, una concoide parabolica, la quadratice di Dimostrate, la spirale logaritmica e molte altre. Infine viene calcolata la tangente o la sottotangente nei punti angolosi o nei punti tripli con il teorema di De l’Hôpital. Nel III capo tratta Del Metodo de’ Massimi, e de’ Minimi e dell'applicazione che se ne può fare per risolvere questioni fisiche molto importanti. Lo studio dei punti singolari delle curve prosegue nel capo IV, De’ Flessi Contrari, e de’ Regressi, in cui vengono studiati in maniera analitica piuttosto rigorosa quelli che noi oggi conosciamo con il nome i punti di cuspide e di flesso, sia orizzontali che verticali. Infine l’ultimo capo tratta Delle Evolute, e de’ Raggi Osculatori, e vengono determinate le evolute di alcune delle curve precedentemente incontrate.

Il terzo tomo, Del Calcolo Integrale, presenta i metodi Del Calcolo Integrale: il I capo descrive le formole finite algebriche, o ridotte a quadrature, fra le quali viene anche presentato il metodo del Riccati mentre il II tratta i metodi di integrazione ricorrendo alla serie di potenze associata. L’Agnesi si limita a descrivere il metodo ma per una trattazione completa dello studio del carattere delle serie rimanda al De Seriebus Infinitis di Jakob Bernoulli. Il capo successivo, Dell’uso delle accennate regole nelle Rettificazioni delle Curve, Quadrature de’ Spazj, Appianazioni delle Superficie, e Cubature de’ Solidi, introduce l’interpretazione dell’integrale come dello spazio sotto una curva ribadendo l’approccio geometrico. Il capitolo termina con molti esempi, problemi risolti e un’indicazione bibliografica, il De Calculo Fluentium di John Craig per quanto riguarda il metodo per separare la variabili. Nel capo IV, Del Calcolo delle Quantità Logaritmiche, ed Esponenziali, l’Agnesi mostra il metodo di integrazione di logaritmi ed esponenziali tramite l’uso di serie e, con un esempio, mostra come calcolare un integrale operando la differenza di aree note.

Il IV tomo, Del Metodo Inverso delle Tangenti, descrive i metodi per ottenere, partendo, ad esempio, da una tangente o da una rettificazione e operando con espressioni differenziali, la curva di cui l’espressione data è la tangente o la rettificazione . Il I capo, Della costruzione delle Equazioni differenziali del primo grado, senza alcuna precedente separazione delle indeterminate, tratta il caso in cui è possibile ricondurre l’equazione differenziale ad una forma già nota. Il II capo, Della costruzione delle Equazioni differenziali del primo grado per mezzo della precedente separazione delle Indeterminate, è dedicato al metodo di separazione delle variabili che viene presentato per mezzo di esempi, risolvendo equazioni omogenee e del primo ordine lineari. Nel terzo, Della costruzione d’altre Equazioni più limitate per mezzo di varie sostituzioni, vengono discussi soltanto alcuni casi particolari, accennando anche al metodo sulla separazione delle variabili dovuto ad Eulero e contenuto nel tomo VI degli Atti dell’Accademia di San Pietroburgo. Infine, nell’ultimo capo, Della Riduzione delle Equazioni differenziali del secondo grado, affronta lo studio delle espressioni che contengono differenziali del secondo ordine, ponendo l’attenzione sulla necessità di tenere conto delle quantità costanti che devono essere introdotte nel corso dei passaggi di integrazione. Descrive un estensione del metodo del Riccati per risolvere i problemi inversi sul raggio osculatore e indica i commentarj dello Istituto di Bologna per ulteriori studi e approfondimenti su tali questioni inverse.

L'opera si conclude invitando l'analista a studiare i metodi che si vedono adoperati da illustri Matematici ne’ Problemi delle Curve Elastiche, Catenarie, Velarie, in quello degli Isoperimetri, ed in altri, le soluzioni de’ quali pubblicate sì negli Atti di Lipsia, come in altre opere, si potranno leggere, a fine di acquistare quella avvedutezza e destrezza, che è necessaria.

Breve commento

L'opera si distingue, in particolare, per la chiarezza nei ragionamenti presentati e semplicità dell'esposizione. I suoi ipotetici lettori sono studenti che devono essere introdotti all’analisi e fondamentale è, quindi, che apprendano nel miglior modo possibile gli strumenti, o come spesso vengono chiamati, gli artificj per il calcolo analitico. Il metodo adottato risale alla Géométrie di Descartes e all’Enumeratio linearum tertiis ordinis di Newton ed è basato più sull’intuizione che sul formalismo: le espressioni analitiche necessitano, al fine di dare concretezza alla teoria matematica, della rappresentazione grafica come punto di partenza e punto di arrivo, tanto che non esiste separazione netta tra teoria, spesso fatta di proprietà enunciate senza dimostrazione, ed esempi atti, talvolta, a convincere il lettore della utilità di quanto esposto. Il testo è ricchissimo di esempi e problemi, tutti accuratamente risolti, al punto da identificare il testo come una esposizione tramite esempi piuttosto che una teoria.

Collegamenti esterni

• Alcune pagine dell'opera
• La versiera

Bibliografia

• Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni Analitiche ad uso della Gioventù Italiana, tomo I e tomo II, Milano (1748)
• C.B. Boyer, Storia della Matematica, Arnoldo Mondadori Editore, Milano (1990).
• C.B. Boyer, History of Analytic Geometry, Scripta Matematica, New York (1956).
• A.F. Frisi, Elogio storico di Donna Maria Gaetana Agnesi, ristampa della edizione milanese del 1799 curata e commentata da Arnaldo e Giuseppina Masotti, Scuola Tipografica del Pio Istituto dei Figli della Provvidenza Milano (1965).