Trasformata di Cayley

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In matematica, con trasformata di Cayley si identificano oggetti diversi.

La trasformata di Cayley è stata inizialmente introdotta da Arthur Cayley come una mappa tra lo spazio delle matrici antisimmetriche e quello delle matrici ortogonali speciali. In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme tale per cui l'immagine del semipiano complesso superiore è il disco unitario, mentre nella teoria degli spazi di Hilbert denota una trasformazione tra operatori lineari.

Mappa tra matrici[modifica | modifica sorgente]

Si consideri lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n \times n su \R, e sia A una matrice antisimmetrica, cioè tale che A^T = -A. La matrice I + A, dove I denota la funzione identità, è in tal caso invertibile.

Si definisce trasformata di Cayley la matrice ortogonale speciale Q definita nel modo seguente:

 Q = (I - A)(I + A)^{-1}

Dal momento che la moltiplicazione fra matrici nella definizione è commutativa, la trasformata di Cayley può essere definita in modo equivalente come:

 Q = (I + A)^{-1}(I - A)

Viceversa, data una matrice ortogonale che non possiede -1 come autovalore, allora la matrice:

 A = (I - Q)(I + Q)^{-1}

è antisimmetrica.

Mappa conforme[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi mappa conforme.
La trasformata di Cayley mappa il semipiano complesso superiore nel disco unitario.

In analisi complessa, la trasformata di Cayley è una mappa conforme dal piano complesso in sé data da:

 \operatorname{W} \colon z \mapsto \frac{z-\bold{i}}{z+\bold{i}}

Si tratta di una trasformazione lineare fratta, e può essere estesa ad un automorfismo definito sulla sfera di Riemann.

Tale funzione gode delle seguenti proprietà:

Mappa tra spazi di Hilbert[modifica | modifica sorgente]

Generalizzando i concetti di mappa matriciale e mappa sul piano complesso, si definisce su uno spazio di Hilbert la trasformata di Cayley per operatori lineari:

\begin{align}
 U &{}= (A - \bold{i}I) (A + \bold{i}I)^{-1} \\
 A &{}= \bold{i}(I + U) (I - U)^{-1}
\end{align}

Tale funzione permette, in particolare, di definire la diagonalizzazione di operatori autoaggiunti non limitati attraverso una misura a valori di proiettore.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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