Gruppo circolare

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In matematica, il gruppo circolare, indicato con T (o, in blackboard bold, con \mathbb T), è il gruppo moltiplicativo di tutti i numeri complessi con valore assoluto pari a 1, cioè il cerchio unitario nel piano complesso.

\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}.

Il gruppo circolare forma un sottogruppo di C×, il gruppo moltiplicativo di tutti i numeri complessi non nulli. Poiché C× è abeliano, segue che anche T lo è. La notazione T per il gruppo circolare deriva dal fatto che Tn (il prodotto diretto di T con sé stesso n volte) è geometricamente un n-toro. Il gruppo circolare è quindi un 1-toro.

Introduzione elementare[modifica | modifica sorgente]

Addizione nel cerchio unitario

Un modo per pensare al gruppo circolare è che esso descrive come sommare gli angoli, quando sono permessi solo angoli tra 0° e 360°. Per esempio, il diagramma mostra come aggiungere 150° a 270°. La risposta dovrebbe essere 150° + 270° = 420°, ma quando si pensa in termini del cerchio unitario, bisogna "dimenticare" il fatto che si è fatto un giro attorno al cerchio. Quindi correggendo la risposta di 360° ci dà 420° − 360° = 60°.

Un'altra descrizione è in termini della ordinaria addizione, usando solo numeri tra 0 e 1. Per fare questo, si devono dimenticare le cifre prima della virgola decimale. Per esempio, calcolando 0.784 + 0.925 + 0.446 la risposta potrebbe essere 2.155, ma tirando via il 2, la risposta (nel cerchio unitario) è 0.155.

Struttura topologica e analitica[modifica | modifica sorgente]

Il gruppo circolare non è solo un gruppo algebrico astratto. Esso ha una topologia naturale quando è considerato come sottospazio del piano complesso. Poiché la moltiplicazione e l'inversione sono funzioni continue su C×, il gruppo circolare ha la struttura di un gruppo topologico. Inoltre, poiché il cerchio unitario è un sottoinsieme chiuso e limitato del piano complesso, il gruppo unitario è un sottogruppo chiuso di C× (visto come gruppo topologico). Dal punto di vista topologico, il gruppo circolare è compatto.

Si può dire di più. Il cerchio è una varietà topologica 1-dimensionale reale e la moltiplicazione e l'inversione sono mappe reali e analitichem sul cerchio. Questo dà al gruppo circolare la struttura di un gruppo di Lie 1-dimensionale. In effetti, a meno di un isomorfismo, è l'unico gruppo di Lie connesso, compatto1-dimensionale. Inoltre, ogni gruppo di Lie n-dimensionale, compatto e connesso è isomorfo a Tn.

Isomorfismi[modifica | modifica sorgente]

Il gruppo circolare prende varie forme in matematica. Sono elencate alcune delle più comuni. In particolare, si può mostrare che

\mathbb T \cong \mbox{U}(1) \cong \mbox{SO}(2) \cong \mathbb R/\mathbb Z.

L'insieme di tutte le 1×1 matrici unitarie coincide chiaramente con il gruppo circolare; la condizione di unitarietà è equivalente alla condizione che gli elementi abbiano valore assoluto 1. Quindi, il gruppo circolare è canonicamente isomorfo a U(1), il primo gruppo unitario.

Il gruppo circolare è quindi isomorfo al gruppo ortogonale speciale SO(2). Questo ha l'interpretazione geometrica che la moltiplicazione per un numero complesso unitario è una rotazione proprio del piano complesso, e ogni tale rotazione è di questa forma.

Rappresentazioni[modifica | modifica sorgente]

Le rappresentazioni del gruppo circolare sono semplici da descrivere. Segue dal lemma di Schur che le rappresentazioni complesse irriducibili di un gruppo abeliano sono 1-dimensionali. Poiché il gruppo circolare è compatto, ogni rappresentazione ρ: TGL(1, C) ≅ C×, deve prendere valori in U(1)≅ T. Quindi, le rappresentazioni irriducibili del gruppo circolare sono gli omomorfismi tra il gruppo circolare e se stesso. Ogni tale isomorfismo è nella forma

\phi_n(e^{i\theta}) = e^{in\theta},\qquad n\in\mathbb Z.

Queste rappresentazioni sono tutte inequivalenti. La rappresentazione φ-n è la coniugata di φn,

\phi_{-n} = \overline{\phi_n}.

Queste rappresentazioni sono i caratteri del gruppo circolare. Il gruppo carattere di T è chiaramente un gruppo ciclico infinito generato da φ1:

\mathrm{Hom}(\mathbb T,\mathbb T) \cong \mathbb Z.

Le rappresentazioni irriducibili reali del gruppo circolare sono le rappresentazioni banali (che sono 1-dimensionali) e le rappresentazioni

\rho_n(e^{i\theta}) = \begin{bmatrix}
\cos n\theta & -\sin n\theta \\
\sin n\theta & \cos n\theta \\
\end{bmatrix},\quad n\in\mathbb Z^{+}.

che prendono valori in SO(2). Qui si hanno solo n interi positivi poiché la rappresentazione \rho_{-n} è equivalente a \rho_n.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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