Legge di Poiseuille

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In fluidodinamica, la legge di Poiseuille (o anche di Hagen-Poiseuille) è una legge costitutiva per un fluido newtoniano in regime laminare, e lega la sua viscosità alla sua conducibilità idraulica:[1]

k = \frac {32}{\pi} \frac {S}{\mu}

dove:

  • \mu è la viscosità del fluido considerato;
  • S è la sezione della condotta.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un liquido viscoso che scorre in modo stazionario in una condotta orizzontale a sezione costante e di forma cilindrica. Per risolvere in maniera quantitativa il problema è necessario che la velocità del liquido sia sufficientemente piccola in modo che si crei un flusso laminare a simmetria cilindrica con gli strati esterni del liquido, quelli bagnati dalle pareti aventi velocità nulla e con lo strato centrale avente velocità massima.

Si isoli il sistema fisico costituito dal fluido racchiuso entro il cilindro di raggio r e di lunghezza l avente per basi i due cerchi appartenenti alle sezioni trasversali S_1 e S_2, dove la pressione vale rispettivamente p_1 e p_2.

La forza di volume che agisce sul sistema attraverso le due basi è:

F_V = \Delta p\ r^2\ \pi

La forza di superficie, che è di taglio (parallela al cilindro), è data dalla legge di Newton:

F_{\partial V} = 2 \pi\ r\ l\ \mu\ \frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} r}

dove \mu è la viscosità del liquido e dv/dr è il gradiente di velocità lungo la componente radiale. Per mantenere il moto stazionario è necessario che le forze di pressione compensino esattamente le forze di viscosità. Deve quindi essere:

F_V + F_{\partial V} = 0

Sostituendo e semplificando si deduce che la pressione varia lungo la condotta, diminuendo nella direzione del fluido:

\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} r}= -\frac{\Delta p\ r}{2\ \mu\ l}

integrando si ottiene:

v \left ( r \right )= -\frac{r^2}{4\mu} \frac{\Delta p}{l} + C

dove C è la costante di integrazione, che può essere determinata imponendo la condizione di velocità nulla lungo il contorno v(R)=0, dove R è il raggio equivalente della condotta:

v \left ( R \right )= -\frac{R^2}{4\mu} \frac{\Delta p}{l} + C = 0

da cui si ricava C:

C = \frac{R^2}{4 \mu} \frac{\Delta p}{l}

Sostituendo C nell'espressione della velocità si ha:

v \left ( r \right )= \frac{\Delta p}{4\mu\ l} \left ( R^2 - r^2 \right )

Dall'espressione precedente si può trovare la portata volumetrica totale della condotta come integrale di "anelli" di spessore differenziale caratterizzati da velocità v \left ( r \right ) e di differenziale d'area2 \pi r \mbox{d} r:

\dot V = \int_{0}^{R} 2\pi \ r\  v \left ( r \right )\, \operatorname dr = \pi \frac{\Delta p}{2\mu\ l} \int_{0}^{R} R^2 r - r^3 \, \operatorname d r

da cui, risolvendo l'integrale, si ottiene la legge di Poiseuille:

\Delta p = 8\mu {l \over \pi R^4} \dot V = {8\pi \mu l \over S^2} \dot V

L'enunciato della legge era in effetti originariamente:

La portata è direttamente proporzionale al gradiente di pressione ed al quadrato della superficie, ed inversamente proporzionale alla lunghezza del condotto ed alla viscosità del fluido Quindi per la definizione generale di resistenza, definiamo resistenza fluidodinamica:

R = {8\pi \mu l \over S^2}

e la corrispondente conducibilità idraulica:

k = {l \over R S} = \frac {8 S}{\pi\mu}

La legge di Poiseuille è largamente usata nel calcolo delle perdite di carico nel moto dei fluidi nelle condotte.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Silvestroni, op. cit., p. 201

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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