Legge di Poiseuille

In fluidodinamica, la legge di Poiseuille (o anche di Hagen-Poiseuille) dimostra che in un condotto a sezione circolare dove scorre un fluido viscoso in regime laminare, a parità degli altri parametri, la conducibilità idraulica non è costante ma aumenta con la sezione della condotta:

$k = \frac {32}{\pi} \frac {S}{\mu}$

dove:

• $\mu$ è la viscosità del fluido considerato;
• $d$ è il diametro equivalente della condotta.

Dimostrazione

Si consideri un liquido viscoso che scorre in modo stazionario in una condotta orizzontale a sezione costante e di forma cilindrica. Per risolvere in maniera quantitativa il problema è necessario che la velocità del liquido sia sufficientemente piccola in modo che si crei un flusso laminare a simmetria cilindrica con gli strati esterni del liquido, quelli bagnati dalle pareti aventi velocità nulla e con lo strato centrale avente velocità massima.

Si isoli il sistema fisico costituito dal fluido racchiuso entro il cilindro di raggio x e di lunghezza l avente per basi i due cerchi appartenenti alle sezioni trasversali $S_1$ e $S_2$, dove la pressione vale rispettivamente $p_1$ e $p_2$.

La forza di volume che agisce sul sistema attraverso le due basi è:

$F_V = \Delta p\ x^2\ \pi$

La forza di superficie, che è di taglio (parallela al cilindro), è data da:

$F_{\partial V} = 2 \pi\ x\ l\ \mu\ \frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} x}$

dove $\mu$ è la viscosità del liquido e dv/dx è il gradiente di velocità lungo la componente radiale. Per mantenere il moto stazionario è necessario che la pressione vari lungo la condotta, diminuendo nel senso della direzione del fluido, in modo tale che le forze di pressione compensino esattamente le forze di viscosità. Deve quindi essere:

$F_V + F_{\partial V} = 0$

Sostituendo e semplificando si ha:

$\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} x}= -\frac{\Delta p\ x}{2\ \mu\ l}$

integrando si ottiene:

$v \left ( x \right )= -\frac{x^2}{4\mu} \frac{\Delta p}{l} + C$

dove C è la costante di integrazione, che può essere determinata imponendo la condizione di velocità nulla lungo il contorno v(r)=0, dove r è il diametro equivalente della condotta:

$v \left ( r \right )= -\frac{d^2}{\mu} \frac{\Delta p}{l} + C = 0$

da cui si ricava C:

$C = \frac{d^2}{\mu} \frac{\Delta p}{l}$

Sostituendo C nell'espressione della velocità si ha:

$v \left ( x \right )= \frac{\Delta p}{ 4 \mu\ l} \left ( d^2 - 4 x^2 \right )$

Dall'espressione precedente si può trovare la portata volumetrica totale della condotta come integrale di "anelli" infinitesimi caratterizzati da velocità $v \left ( x \right )$ e di area $2 \pi x \mbox{d} x$:

$\dot V = \int_{0}^{d/2} 2\pi \ x\ v \left ( x \right )\, \operatorname dx = \pi \frac{\Delta p}{ 2 \mu\ l} \int_{0}^{d/2} d^2 x - 4 x^3 \, \operatorname d x$

da cui, risolvendo l'integrale, si ottiene la legge di Poiseuille:

$\Delta p = \mu {l \over 2 \pi d^4} \dot V = {\pi \mu l \over 32 S^2} \dot V$

L'enunciato della legge era in effetti originariamente:

La portata è direttamente proporzionale al gradiente di pressione ed al quadrato della superficie, ed inversamente proporzionale alla lunghezza del condotto ed alla viscosità del fluido Quindi per la definizione generale di resistenza, definiamo resistenza fluidodinamica:

$R = {\pi \mu l \over 32 S^2}$

e la corrispondente conducibilità idraulica:

$k = {l \over R S} = \frac {32 S}{\pi\mu}$

La legge di Poiseuille è largamente usata nel calcolo delle perdite di carico nel moto dei fluidi nelle condotte.

Bibliografia

• Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10^a ed., CEA, 1996. ISBN 88-408-0998-8

Voci correlate

• Fluido ideale
• Fluidodinamica
• Fluido
• Meccanica dei fluidi
• Viscosità
• Legge di Darcy
• Legge di Ohm
• Legge di Hopkinson

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