Legge di Poiseuille

In fluidodinamica, la legge di Poiseuille (o anche di Hagen-Poiseuille) dimostra che in un condotto a sezione circolare dove scorre un fluido viscoso in regime laminare, a parità degli altri parametri, la resistività idraulica non è costante ma aumenta inversamente al quadrato del raggio della condotta:

$\ R = \frac {8 \nu}{r^2} \frac l S$

dove:

• ν è la viscosità cinematica del fluido considerato
• r è il raggio della condotta
• S è la superficie della condotta
• l è la lunghezza della condotta

Dimostrazione

Si consideri un liquido viscoso che scorre in modo stazionario in una condotta orizzontale a sezione costante e di forma cilindrica. Per risolvere in maniera quantitativa il problema è necessario che la velocità del liquido sia sufficientemente piccola in modo che si crei un flusso laminare a simmetria cilindrica con gli strati esterni del liquido, quelli bagnati dalle pareti aventi velocità nulla e con lo strato centrale avente velocità massima.

Si isoli il sistema fisico costituito dal fluido racchiuso entro il cilindro di raggio x e di lunghezza l avente per basi i due cerchi appartenenti alle sezioni trasversali Σ₁ e Σ₂, dove la pressione vale rispettivamente P₁ e P₂.

La forza di pressione che agisce sul sistema attraverso le due basi è:

$F_P = \Delta P\ x^2\ \pi$

dove ΔP = P₁ − P₂. La forza di viscosità, che è di taglio (parallela al cilindro), è data da:

$F_V = 2 \pi\ x\ l\ \mu\ \frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} x}$

dove μ è la viscosità del liquido e dv/dx è il gradiente di velocità lungo la componente radiale. Per mantenere il moto stazionario è necessario che la pressione vari lungo la condotta, diminuendo nel senso della direzione del fluido, in modo tale che le forze di pressione compensino esattamente le forze di viscosità. Deve quindi essere:

$F_P + F_V = 0 \,\!$

Sostituendo e semplificando si ha:

$\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} x}= -\frac{\Delta P\ x}{2\ \mu\ l}$

che integrando da:

$v \left ( x \right )= -\frac{x^2}{4\mu} \frac{\Delta P}{l} + C$

dove C è la costante di integrazione, che può essere determinata imponendo la condizione di velocità nulla lungo il contorno v(r)=0, dove r è il raggio della condotta:

$v \left ( r \right )= -\frac{r^2}{4\mu} \frac{\Delta P}{l} + C = 0$

da cui si ricava C:

$C = \frac{r^2}{4\mu} \frac{\Delta P}{l}$

Sostituendo C nell'espressione della velocità si ha:

$v \left ( x \right )= \frac{\Delta P}{4\ \mu\ l} \left ( r^2 - x^2 \right )$

Dall'espressione precedente si può trovare la portata volumetrica totale della condotta come integrale di "anelli" infinitesimi caratterizzati da velocità $v \left ( x \right )$ e di area 2πxdx:

$\dot V = \int_{0}^{r} 2\pi \ x\ v \left ( x \right )\, \mbox{d} x$

da cui, risolvendo l'integrale, si ottiene la legge di Poiseuille:

$\dot V = {\pi \over 8}{\Delta P \over l}{r^4 \over \mu}$

e, moltiplicando entrmbi i membri per la densità locale del fluido, detta ν la viscosità cinematica:

$\dot m = {\pi \over 8}{\Delta P \over l}{r^4 \over \nu}$

L'enunciato della legge era in effetti originariamente:

La portata è direttamente proporzionale al gradiente di pressione ed alla quarta potenza del raggio, ed inversamente proporzionale alla lunghezza del condotto ed alla viscosità del fluido

La legge di Poiseuille è largamente usata nel calcolo delle perdite di carico nel moto dei fluidi nelle condotte.

Bibliografia

• Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10^a ed., CEA, 1996. ISBN 88-408-0998-8

Voci correlate

• Fluido ideale
• Fluidodinamica
• Fluido
• Meccanica dei fluidi
• Viscosità
• Legge di Ohm
• Legge di Hopkinson

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