Legge di Darcy

Cilindro di sabbia attraversato da acqua utilizzato nella dimostrazione della legge di Darcy.

La legge di Darcy descrive il moto di un fluido in un mezzo poroso. Questa importante legge viene utilizzata in geotecnica e in geologia o comunque in quelle applicazioni dell'ingegneria (ad es. la teoria della poroelasticità) che contemplano l'interazione fisica tra un fluido, che in genere è l'acqua, e un mezzo poroso, che in genere è il terreno o una roccia porosa.

La legge fu formulata dall'ingegnere francese Henry Darcy sulla base dei risultati delle sperimentazioni da lui condotte sul flusso dell'acqua attraverso letti sabbiosi. Essa getta le basi scientifiche quantitative della permeabilità dei fluidi per gli utilizzi nelle scienze della terra e in particolare nell'idrogeologia.

Formulazione matematica

Diagramma schematico per la definizione della legge di Dracy.

La portata di un fluido attraverso un mezzo poroso completamente saturo è definita dalla seguente equazione:

$Q_x = - {kA\over\eta} {\partial P\over\partial x}$

dove

Q_x è la portata del fluido secondo la direzione x

k è la permeabilità del mezzo poroso

η è il coefficiente di viscosità del fluido

P è la pressione del fluido

A è la sezione attraverso cui passa il fluido

Questa equazione, definita sperimentalmente da Darcy, è solitamente applicata ad un acquifero teorico (poroso, completamente saturato da un fluido monofasico continuo (ossia acqua nelle sue applicazioni idrogeologiche), isotropo e poggiante su un substrato impermeabile orizzontale), avente sezione costante di area S e nel quale la falda defluisca in regime di moto laminare. In questo acquifero la portata Q è inversamente proporzionale alla lunghezza dell'acquifero l ed è direttamente proporzionale alla perdita di carico piezometrico Δh, cioè

$Q= K {S i\over\eta}$

dove

K è detto coefficiente di permeabilità (o conducibilità idraulica)

i = Δh / l

η = coefficiente di viscosità

Scritta in altri termini diventa: v = − k * i dove v è la velocità apparente del fluido.

Dividendo entrambi i membri dell'equazione per la sezione, si può riscrivere la formulazione come:

$q=\frac{-k}{\eta} \nabla P$

dove

q è il flusso per unità di area, in unità di lunghezza per tempo (m/s)

$\nabla P$ è il vettore gradiente di pressione (Pa/m).

Il valore del flusso, a volte indicato come flusso di Darcy, non rappresenta la velocità con cui l'acqua passa attraverso i pori. Questa velocità (v) è collegata al flusso di Darcy (q) attraverso la porosità (n), che tiene conto del fatto che solo una frazione del volume totale di formazione è disponibile per il flusso:

$v=\frac{q}{n}$

Applicazioni

La legge di Darcy riassume di fatto in modo semplificato alcune familiari proprietà che le acque sotterranee esibiscono durante lo scorrimento nella falda acquifera:

• in assenza di gradiente di pressione, non si ha scorrimento in condizioni idrostatiche.
• in presenza di un gradiente di pressione, lo scorrimento avviene nella direzione che va dalla pressione più alta a quella più bassa (da qui deriva il segno negativo nella formulazione matematica).
• all'aumentare del gradiente di pressione aumenta la portata del flusso.
• la velocità di un flusso dipende dalla formazione del terreno e quindi dalla sua porosità (e in uno stesso materiale può differire in funzione della direzione), anche a parità di gradiente di pressione.

Bibliografia

• (FR) Henry Darcy Les fontaines publiques de la ville de Dijon : exposition et application des principes à suivre et des formules à employer dans les questions de distribution d'eau (Parigi : V. Dalmont, 1856). È la pubblicazione in cui Darcy introdusse la legge a cui venne dato il suo nome come riconoscimento.
• Gary Mavko, Jack Dvorkin, Tapan Mukerji, The Rock Physics Handbook, Cambridge University Press, 2003,ISBN 978-0-521-62068-0

Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Henry Darcy and his law
• (EN) G. O. Brown Henry Darcy and the making of a law Water Resources Research, 38, 110 (2002).

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