Legge di Darcy

Cilindro di sabbia attraversato da acqua utilizzato nella dimostrazione della legge di Darcy.

In idraulica la legge di Darcy descrive il moto di un fluido in un mezzo poroso. Questa importante legge viene utilizzata in tutte quelle applicazioni ingegneristiche (ad esempio la teoria della poroelasticità) che contemplano l'interazione puramente fisica tra un fluido in movimento laminare entro un mezzo poroso.

La legge fu formulata nel 1856 dall'ingegnere francese Henry Darcy sulla base dei risultati delle sperimentazioni da lui condotte sul flusso dell'acqua attraverso letti sabbiosi. Essa getta le basi scientifiche quantitative della permeabilità dei fluidi per gli utilizzi nei campi applicativi delle scienze della terra, in particolare nell'idrogeologia e nella petrofisica.

Formulazione debole

Diagramma schematico per la definizione della legge di Darcy.

La portata di un fluido attraverso un mezzo poroso completamente saturo è definita in modo integrale dalla seguente equazione:

$I_v = - \int_S {k\over\mu} \nabla p \cdot \operatorname d \bar{r^2}$

dove:

$k$ è la permeabilità del mezzo poroso

$\mu$ è la viscosità del fluido

$\nabla$ è l'operatore gradiente spaziale

$p$ è la pressione del fluido

$S$ è la sezione attraverso cui passa il fluido

Che per il teorema della divergenza si riesprime per l'efflusso attraverso una superficie chiusa che delimita un volume V come:

$I_v = - \int_V \nabla \cdot \left({k\over\mu} \nabla p \right) \operatorname dr^3$

Questa equazione, definita sperimentalmente da Darcy, è solitamente applicata ad un acquifero teorico (poroso, completamente saturato da un fluido monofasico continuo (ossia acqua nelle sue applicazioni idrogeologiche), isotropo e poggiante su un substrato impermeabile orizzontale), avente sezione costante di area S e nel quale la falda defluisca in regime di moto laminare. In questo acquifero la portata è inversamente proporzionale alla lunghezza dell'acquifero Δl ed è direttamente proporzionale alla sezione e alla perdita di carico Δh, evidenziandosi l'analogia con la legge di Ohm:

$I_v= {k \over \mu} {S \over \Delta l} \Delta p= {\Delta h \over R}$

dove R è la resistenza idraulica.

Formulazione forte

Nei punti del dominio di flusso in cui le grandezze coinvolte sono continue si può passare alla formulazione forte della legge di Darcy:

$\langle \bar v \rangle=\frac{-k}{n \mu} \nabla p$

dove <v> è la velocità media del fluido e "n" la porosità.

Se la viscosità è uniforme:

$n \langle \bar v \rangle= -k \nabla \left( \frac p \mu \right)$

quindi definendo il tempo caratteristico del flusso ("τ") come il quoziente della pressione ("p") nella viscosità ("μ"), e il flusso di Darcy ("q") come il prodotto della velocità (<v>) attraverso la porosità (n) (che misura la formazione originaria del flusso a monte), la legge si riesprime solitamente nella forma più semplice :

$\bar q = -k \, \nabla \tau$

Dipendenza da sezione e viscosità

Per approfondire, vedi Legge di Poiseuille.

In base alla legge di Poiseuille per la conducibilità possiamo esplicitare la legge di Darcy nelle sue due forme:

$\vec v = - {32 \over \pi \mu^2} \, S \, \nabla p$

$Q= {32 \over \pi l \mu^2} \, S^2 \, \Delta p$

Possiamo anche esplicitare la diffusività barica come:

$D_p = {32 S \over \pi \mu}$

Casistica

La legge di Darcy riassume di fatto in modo semplificato alcune familiari proprietà che le acque sotterranee esibiscono durante lo scorrimento nella falda acquifera:

• in assenza di gradiente di pressione, non si ha scorrimento in condizioni idrostatiche.
• in presenza di un gradiente di pressione, lo scorrimento avviene nella direzione che va dalla pressione più alta a quella più bassa (da qui deriva il segno negativo nella formulazione matematica).
• all'aumentare del gradiente di pressione aumenta la portata del flusso.
• la velocità di un flusso dipende dalla formazione del terreno e quindi dalla sua porosità (e in uno stesso materiale può differire in funzione della direzione), anche a parità di gradiente di pressione.

Bibliografia

• (FR) Henry Darcy Les fontaines publiques de la ville de Dijon: exposition et application des principes à suivre et des formules à employer dans les questions de distribution d'eau (Parigi: V. Dalmont, 1856). È la pubblicazione in cui Darcy introdusse la legge a cui venne dato il suo nome come riconoscimento.
• Gary Mavko, Jack Dvorkin, Tapan Mukerji, The Rock Physics Handbook, Cambridge University Press, 2003,ISBN 978-0-521-62068-0

Voci correlate

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• Filtrazione
• Permeabilità
• Porosità
• Legge di Poiseuille
• Legge di Fick
• Legge di Fourier
• Legge di Ohm

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Henry Darcy and his law
• (EN) G. O. Brown Henry Darcy and the making of a law Water Resources Research, 38, 110 (2002).

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