Finite impulse response

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In teoria dei segnali, in particolare nell'elaborazione numerica dei segnali, un sistema dinamico finite impulse response, in italiano risposta finita all'impulso e spesso abbreviato in FIR, è una tipologia di filtro digitale caratterizzata da una risposta impulsiva di durata finita, cioè che si annulla ad un tempo finito. I sistemi la cui risposta non si annulla ad un tempo finito sono detti infinite impulse response (IIR).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un filtro FIR a tempo discreto di ordine N con risposta impulsiva b[n].

L'uscita y(t) di un sistema dinamico lineare tempo-invariante (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso x(t) è descritta dalla convoluzione y(t) = x(t) * h(t) , dove h(t) è la risposta del sistema quando l'ingresso x(t) è una funzione a delta di Dirac. L'uscita y è quindi proporzionale alla media dell'ingresso x pesata dalla funzione  h(-\tau), traslata di un tempo t.

Un sistema dinamico lineare stazionario discreto trasforma la successione in ingresso \{x\} in un'altra successione \{y\}, data dalla convoluzione discreta con la risposta h alla delta di Kronecker:

y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]\cdot h[k]

Gli elementi di \{y\} possono dipendere da ogni elemento di \{x\}. Solitamente y[n] dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo n.

Per un filtro a tempo discreto l'uscita è una somma pesata dei valori assunti dall'ingresso al tempo corrente ed a tempi precedenti. Tale operazione è descritta dalla seguente equazione:

y[n] = h_0 x[n] + h_1 x[n-1] + \cdots + h_N x[n-N] = \sum_{i=0}^{N} h_i x[n-i]

dove h_{i} sono detti coefficienti del filtro, che determinano la risposta impulsiva, ed N l'ordine del filtro. Per un filtro di ordine \scriptstyle N compaiono \scriptstyle (N \,+\, 1) termini nel membro alla sinistra.

Filtro a media mobile[modifica | modifica sorgente]

Diagramma a blocchi di un filtro FIR a media mobile di ordine 2
Poli e zeri di un filtro FIR a media mobile di ordine 2

Un filtro a media mobile è uno dei più semplici filtri FIR, i cui coefficienti b_0,\, \dots,\, b_N soddisfano l'equazione:

b_{i}=\frac{1}{N+1}

Ad esempio, un filtro di ordine N = 2 ha risposta impulsiva:

h[n] = \frac{1}{3}\delta[n] + \frac{1}{3}\delta[n-1] + \frac{1}{3}\delta[n-2]

Facendone la trasformata zeta:

H(z) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}z^{-1} + \frac{1}{3}z^{-2} = \frac{1}{3}\frac{z^{2} + z + 1}{z^{2}}

i cui due poli sono nell'origine e i due zeri in:

z_{1} \;=\; -\frac{1}{2} \,+\, j\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad z_{2} \;=\; -\frac{1}{2} \,-\, j\frac{\sqrt{3}}{2}

La risposta in frequenza (in radianti per campione) è:

H\left(e^{j\omega}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}e^{-j\omega} + \frac{1}{3}e^{-j2\omega}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007. ISBN 0-13-041207-4.
  • (EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009. ISBN 0-691-14021-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]