Finite impulse response

In teoria dei segnali, in particolare nell'elaborazione numerica dei segnali, un sistema dinamico finite impulse response, in italiano risposta finita all'impulso e spesso abbreviato in FIR, è una tipologia di filtro digitale caratterizzata da una risposta impulsiva di durata finita, cioè che si annulla ad un tempo finito. I sistemi la cui risposta non si annulla ad un tempo finito sono detti infinite impulse response (IIR).

Definizione

Un filtro FIR a tempo discreto di ordine N con risposta impulsiva $b[n]$.

L'uscita $y(t)$ di un sistema dinamico lineare tempo-invariante (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso $x(t)$ è descritta dalla convoluzione $y(t) = x(t) * h(t)$, dove $h(t)$ è la risposta del sistema quando l'ingresso $x(t)$ è una funzione a delta di Dirac. L'uscita $y$ è quindi proporzionale alla media dell'ingresso $x$ pesata dalla funzione $h(-\tau)$, traslata di un tempo $t$.

Un sistema dinamico lineare stazionario discreto trasforma la successione in ingresso $\{x\}$ in un'altra successione $\{y\}$, data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]\cdot h[k]$

Gli elementi di $\{y\}$ possono dipendere da ogni elemento di $\{x\}$. Solitamente $y[n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$.

Per un filtro a tempo discreto l'uscita è una somma pesata dei valori assunti dall'ingresso al tempo corrente ed a tempi precedenti. Tale operazione è descritta dalla seguente equazione:

$y[n] = h_0 x[n] + h_1 x[n-1] + \cdots + h_N x[n-N] = \sum_{i=0}^{N} h_i x[n-i]$

dove $h_{i}$ sono detti coefficienti del filtro, che determinano la risposta impulsiva, ed $N$ l'ordine del filtro. Per un filtro di ordine $\scriptstyle N$ compaiono $\scriptstyle (N \,+\, 1)$ termini nel membro alla sinistra.

Filtro a media mobile

Diagramma a blocchi di un filtro FIR a media mobile di ordine 2

Poli e zeri di un filtro FIR a media mobile di ordine 2

Un filtro a media mobile è uno dei più semplici filtri FIR, i cui coefficienti $b_0,\, \dots,\, b_N$ soddisfano l'equazione:

$b_{i}=\frac{1}{N+1}$

Ad esempio, un filtro di ordine $N = 2$ ha risposta impulsiva:

$h[n] = \frac{1}{3}\delta[n] + \frac{1}{3}\delta[n-1] + \frac{1}{3}\delta[n-2]$

Facendone la trasformata zeta:

$H(z) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}z^{-1} + \frac{1}{3}z^{-2} = \frac{1}{3}\frac{z^{2} + z + 1}{z^{2}}$

i cui due poli sono nell'origine e i due zeri in:

$z_{1} \;=\; -\frac{1}{2} \,+\, j\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad z_{2} \;=\; -\frac{1}{2} \,-\, j\frac{\sqrt{3}}{2}$

La risposta in frequenza (in radianti per campione) è:

$H\left(e^{j\omega}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}e^{-j\omega} + \frac{1}{3}e^{-j2\omega}$

Bibliografia

• (EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007. ISBN 0-13-041207-4
• (EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009. ISBN 0-691-14021-9

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Ergodicità
• Funzione di trasferimento
• Infinite impulse response
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario discreto
• Stabilità (sistema)
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata zeta

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