Esponente di Lyapunov

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Gli esponenti di Lyapunov di un Sistema dinamico in un punto p danno una misura di quanto sensibilmente le orbite del sistema sono dipendenti dai dati iniziali e sono quindi degli indicatori della presenza di dinamiche caotiche. Ciò che essi misurano è in particolare la velocità media di allontanamento delle orbite dei punti vicini a p dall'orbita di p e per tempi sufficientemente lunghi. Più precisamente: ad un punto p sono associati un numero di esponenti di Lyapunov pari alla dimensione dello spazio e se l'esponente di Lyapunov massimo è \lambda e la distanza euclidea tra p ed un punto vicino è abbastanza piccola, tale distanza avrà un'evoluzione nel tempo che per tempi t grandi sarà circa \delta(t)=C \cdot e^{\lambda t} (questo in realtà non accade per tutti i punti ma per quasi ogni punto). Ne deduciamo che se il massimo esponente di Lyapunov del sistema è positivo allora il sistema presenta una dipendenza sensibile dai dati iniziali (in modo esponenziale) ed è quindi caotico.

Mappe unidimensionali[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia I \subset \mathbb R e T: I \rightarrow I una funzione derivabile, e consideriamo il sistema dinamico discreto dato dall'iterazione della mappa T.

Definiamo l'esponente di Lyapunov del punto x_0 ovvero dell'orbita \{ x_0, x_1, ..., x_n,... \} come

\lambda(x_0):=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} \log |T'(x_k)|

o equivalentemente come

\lambda(x_0):=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac 1 n \log \left|\frac {d} {dx} T^n(x_0)\right|

ove il limite esiste.

Spiegazione[modifica | modifica wikitesto]

Per capire le ragioni di questa definizione facciamo le seguenti osservazioni:

1) La derivata di T in un punto x_0 ci dice la velocità con cui i punti vicini a x_0 si sono allontanati dopo una iterazione: se la distanza iniziale tra due punti vicini a x_0 è \delta, dopo l'applicazione di T questa diventa \delta |T ^\prime (x_0)|, ovvero \delta e^{\log |T'(x_0)|};

2) il prodotto |T^\prime(x_0)|\cdots|T^\prime(x_n)| ci dà la derivata dell'iterazione T^n nel punto x_0, che ci dice la velocità con cui i punti vicini a x_0 si sono allontanati dopo n iterazioni, più precisamente se la distanza iniziale tra due punti vicini a x_0 è \delta, dopo l'applicazione di T^n questa diventa \delta |T^\prime(x_1)| \cdots |T^\prime(x_n)|, ovvero

\delta e^{\log (|T'(x_0)| \cdots |T'(x_n)|)}=\delta e^{\log |T'(x_0)| + ... + \log |T'(x_n)|}

che possiamo scrivere (tenendo presente il discorso iniziale ed il fatto che il tempo che stiamo considerando è n) come

\delta e^{n \frac {\log |T'(x_0)| + ... + \log |T'(x_n)|} n };

Da queste osservazioni concludiamo che se esiste il limite \lambda(x_0) per la quantità \frac {\log |T'(x_0)| + ... + \log |T'(x_n)|} n allora per tempi n molto lunghi si avrà che la distanza tra due orbite vicine a x_0 è cresciuta con un fattore moltiplicativo approssimativamente uguale a e^{\lambda(x_0) n}.

Mappe multidimensionali[modifica | modifica wikitesto]

Per una mappa f:\mathbb R ^m \longrightarrow \mathbb R ^m differenziabile ed una sua orbita si possono definire m esponenti di Lyapunov \lambda_1, ..., \lambda_m che misurano la velocità di separazione dall'orbita in m direzioni ortogonali in modo che lungo la direzione i-esima le distanze tra punti vicini all'orbita evolveranno come \delta_0 e^{\lambda_i n} per n grandi. La prima direzione sarà quella in cui tale velocità è massima, la seconda sarà scelta come quella di velocità massima nell'insieme delle direzioni ortogonali alla prima, e così via. Nelle direzioni che sono combinazioni lineari di due direzioni associate ad esponenti di Lyapunov diversi la velocità di separazione è stabilità dall'esponente di Lyapunov più grande.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definiamo l'esponente di Lyapunov associato ad un punto x_0 e ad una direzione v come la velocità di separazione media di un punto x vicino a x_0 tale che il vettore congiungente x-x_0 ha la direzione v:

Dopo n iterazioni la distanza tra F^n(x) e F^n(x_0) che originariamente era \left\|x-x_0\right\| è diventata circa \left\|DF^n(x_0)(x-x_0)\right\|, il tasso di crescita medio per ogni passo è dato da \left(\frac{\left\|DF^n(x_0)(x-x_0)\right\|}{\left\|x-x_0\right\|}\right)^{\frac 1 n}=\left\|DF^n(x_0)v\right\|^{\frac 1 n} dove v è il vettore unitario di direzione (x-x_0). Se consideriamo il logaritmo L=\log \left\|DF^n(x_0)v\right\|^{\frac 1 n}=\frac 1 n \log \left\|DF^n(x_0)v\right\| possiamo dire che il sistema si è evoluto in modo che la distanza iniziale \delta_0 è diventata \delta_0 e^{nL}. Tuttavia abbiamo fatto la media su un numero finito di passi, se consideriamo l'intera traiettoria possiamo definire l'esponente di Lyapunov di x_0 nella direzione v come il tasso di crescita esponenziale medio nel seguente modo:

\lambda(x_0,v):=\lim_{n\to\infty} \frac 1 n \log \left\| DF^n(x_0)v\right\|

Da questa definizione si deduce che se il vettore congiungente ha la direzione v allora la distanza \left\|x-x_0\right\| si evolve come Ce^{n\lambda(x_0,v)} per n grandi.

A questo punto ci si può domandare quanto in effetti il valore di \lambda possa variare se si considerano direzioni diverse. Quello che si dimostra è che in effetti \lambda può assumere al più un numero di valori pari alla dimensione m dello spazio e che per quasi tutti i punti dello spazio assume lo stesso valore: il valore massimo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

È istruttivo vedere che cosa succede nel caso in cui l'approssimazione lineare di F rimane sempre la stessa. Consideriamo il sistema dinamico discreto dato dall'iterazione della mappa F(x):=Ax con A matrice m \times m dotata di m autovalori 0\leq\lambda_1\leq\lambda_2\leq...\leq\lambda_m.

Al passo n-esimo avremo che F^n(x)-F^n(x_0)\sim A^n(x-x_0), quindi la distanza iniziale \delta_0=\left\| x-x_0\right\| è diventata \left\| A^n(x-x_0)\right\|.

Se il vettore (x-x_0) è nell'autospazio associato a \lambda_k allora \left\| A^n(x-x_0)\right\|=|\lambda_k|^n\left\|x-x_0\right\|=\delta_0 e^{n\log |\lambda_k|}.

Se il vettore (x-x_0) ha una componente non nulla nell'autospazio associato a \lambda_m (che è il massimo degli autovalori per come li abbiamo numerati) allora possiamo esprimere (x-x_0) come combinazione lineare

x-x_0=a_1 v_1+...+a_mv_m con a_n\neq 0,

dove v_1, ... , v_m è una base ortonormale di autovettori (assumiamo per semplicità che esista tale base). Dunque

A^n(x-x_0)=\lambda_1^n a_1 v_1+\lambda_2^n a_2 v_2+...+\lambda_m^n a_m v_m=
=\lambda_m^n\left(\left(\frac {\lambda_1}{\lambda_m}\right)^n a_1 v_1+\left(\frac {\lambda_2}{\lambda_m}\right)^n a_2 v_2+...+\left(\frac {\lambda_{m-1}}{\lambda_m}\right)^n a_{m-1} v_{m-1}+a_mv_m\right)

per avere un'idea di quale è il fattore medio di espansione per ogni passo possiamo calcolare il limite della media geometrica

\lim_{n\to\infty} \left(\frac {\left\| A^n(x-x_0)\right\|}{\left\|x-x_0\right\|}\right)^{1\left/n\right.}

che dai calcoli precedenti risulta evidentemente uguale a \left|\lambda_m\right|. Quindi la distanza \left\|x-x_0\right\| evolverà per tempi lunghi come C|\lambda_m|^n=Ce^{n\log|\lambda_m|}. Questo significa che tutti i punti x vicini a x_0 per i quali il vettore congiungente (x-x_0) ha una componente non nulla lungo v_n hanno una velocità asintotica media di separazione (o avvicinamento) da x_0 determinata unicamente dal massimo degli autovalori di A. Il calcolo dell'esponente di Lyapunov sulla base delle relazioni stabilite sopra ci dà infatti
\lim_{n\to\infty} \frac 1 n \log \left\| A^n \frac {x-x_0}{\left\|x-x_0\right\|} \right\|=\lim_{n\to\infty} \frac 1 n \log \left\| A^n (x-x_0) \right\|-\frac 1 n \log \left\| x-x_0 \right\|=\log |\lambda_m|.

Con un discorso analogo si può dimostrare che se il vettore congiungente x-x_0 è ortogonale all'autospazio relativo all'autovalore massimo ma ha una componente non nulla rispetto al secondo autovalore più grande \lambda_{m-1} allora l'esponente di Lyapunov associato a tale direzione è \log |\lambda_{m-1}|. Più in generale l'esponente di Lyapunov in x_0 lungo la direzione v sarà dato dal logaritmo del massimo autovalore \lambda_k associato ad un autovettore rispetto al quale v non è ortogonale.

Idea intuitiva[modifica | modifica wikitesto]

Per visualizzare il concetto si può considerare una sfera infinitesima attorno al punto p di un'orbita, questa dopo ogni iterazione della mappa F viene deformata in un ellissoide ottenuto come immagine della sfera mediante l'applicazione lineare data dalla matrice jacobiana D(f^n)(p). L'ellissoide ci fornisce informazioni sul comportamento locale della mappa in particolare sulle direzioni in cui questa contrae o espande maggiormente lo spazio. Di questo ellissoide si potranno individuare gli assi principali che corrisponderanno alle direzioni di contrazione o espansione. Tuttavia ad ogni iterazione la trasformazione lineare è diversa, e così anche gli autovettori e gli autovalori e quindi gli assi e la forma dell'ellissoide. Tuttavia il Teorema di Oseledec assicura che per quasi ogni punto l'azione delle trasformazioni lineari date dai differenziali DF(x_n), calcolati lungo la traiettoria, in media tende asintoticamente ad essere equivalente all'azione di una stessa matrice con m autovalori i cui logaritmi danno gli esponenti di Lyapunov e i cui autovettori danno le direzioni di espansione e contrazione corrispondenti agli assi di un ellissoide "medio".

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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