Utente:Ming mm/Spherical basis

Nella matematica pura e applicata, in particolare nella meccanica quantistica e nella computer grafica e nelle loro applicazioni, una base sferica è la base utilizzata per esprimere tensori sferici .  La base sferica è strettamente correlata alla descrizione del momento angolare nella meccanica quantistica e nelle funzioni armoniche sferiche.

Mentre le coordinate polari sferiche sono un sistema di coordinate ortogonali per esprimere vettori e tensori utilizzando angoli polari e azimutali e distanza radiale, le basi sferiche sono costruite dalla base standard e utilizzano numeri complessi .

In tre dimensioni

Un vettore A nello spazio euclideo 3D R 3 può essere espresso nel familiare sistema di coordinate cartesiane nelle basi standard e _x, e _y, e _z e nelle coordinate A _x, A _y, A _z :

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}$

(Template:EquationRef)

o qualsiasi altro sistema di coordinate con un insieme di vettori di base associato. Da questo estendi gli scalari per consentire la moltiplicazione per numeri complessi, in modo che ora stiamo lavorando in $\mathbb {C} ^{3}$ piuttosto che $\mathbb {R} ^{3}$ .

Definizione di base

Nelle basi sferiche indicate con e ₊, e ₋, e ₀, e coordinate associate rispetto a tale base, indicate con A ₊, A ₋, A ₀, il vettore A è:

$\mathbf {A} =A_{+}\mathbf {e} _{+}+A_{-}\mathbf {e} _{-}+A_{0}\mathbf {e} _{0}$

(Template:EquationRef)

dove i vettori di base sferica possono essere definiti in termini di base cartesiana utilizzando coefficienti a valori complessi nel piano xy

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{+}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{\pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\right)\,$

(Template:EquationRef)

in cui i denota l' unità immaginaria e una normale al piano nella direzione z:

$\mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}$

Le relazioni inverse sono:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\end{aligned}}$

(Template:EquationRef)

Definizione di commutatore

Mentre dare una base in uno spazio tridimensionale è una definizione valida per un tensore sferico, copre solo il caso in cui il rango $k$ è 1. Per ranghi più alti, si può usare il commutatore o la definizione di rotazione di un tensore sferico. La definizione del commutatore è data di seguito, qualsiasi operatore $T_{q}^{(k)}$ che soddisfa le seguenti relazioni è un tensore sferico:

$$[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}$$

$$[J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}$$

Definizione di rotazione

Analogamente a come le armoniche sferiche si trasformano sotto una rotazione, un tensore sferico generale si trasforma come segue, quando gli stati si trasformano sotto la matrice D di Wigner unitaria ${\mathcal {D}}(R)$, dove R è un elemento di gruppo (3×3) in SO(3) . Cioè, queste matrici rappresentano gli elementi del gruppo di rotazione. Con l'aiuto della sua algebra di Lie, si può dimostrare che queste due definizioni sono equivalenti.

${\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}$

Vettori di coordinate

 

Per la base sferica, le coordinate sono numeri a valori complessi A ₊, A ₀, A ₋, e possono essere trovate sostituendo ( 3B ) in ( 1 ), o calcolate direttamente dal prodotto interno ⟨, ⟩ ( 5 ):

${\begin{aligned}A_{+}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{+}\right\rangle =-{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{-}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mp A_{x}+iA_{y}\right)$

(Template:EquationRef)

$A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}$

con relazioni inverse:

${\begin{aligned}A_{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{z}&=A_{0}\end{aligned}}$

(Template:EquationRef)

In generale, per due vettori con coefficienti complessi nella stessa base ortonormale a valori reali e _i, con la proprietà e _i · e _j = δ _ij, il prodotto interno è:

$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\star }=\sum _{j}a_{j}b_{j}^{\star }$

(Template:EquationRef)

dove · è il solito prodotto scalare e il complesso coniugato * deve essere usato per mantenere definita positiva la grandezza (o "norma") del vettore.

Proprietà (tre dimensioni)

Ortonormalità

La base sferica è una base ortonormale, poiché il prodotto interno ⟨, ⟩ ( 5 ) di ogni coppia si annulla, il che significa che i vettori di base sono tutti tra loro ortogonali :

$\left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0$

e ogni vettore base è un vettore unitario :

$\left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1$

da qui la necessità dei fattori di normalizzazione di 1/ √ 2 .

Cambio della matrice di base

Le relazioni di definizione ( 3A ) possono essere riassunte da una matrice di trasformazione U :

${\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,$

${\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

Si vede che U è una matrice unitaria, in altre parole il suo coniugato hermitiano U ^† ( coniugato complesso e matrice trasposta ) è anche matrice inversa U ⁻¹ .

Per le coordinate:

${\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,$

e inversa:

${\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

Prodotti trasversali

Prendendo i prodotti incrociati dei vettori di base sferica, troviamo una relazione ovvia:

$\mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}$

dove q è un segnaposto per +, −, 0 e due relazioni meno ovvie:

$\mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}$

$\mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }$

Prodotto interno nella base sferica

Il prodotto interno tra due vettori A e B nella base sferica segue dalla precedente definizione del prodotto interno:

$\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }$

Guarda anche

• Teorema di Wigner-Eckart
• Matrice Wigner D
• Gruppo di rotazione 3D

Riferimenti

 

• S. S. M. Wong, Introductory Nuclear Physics, 2ndª ed., John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-35-276-179-13.

[[Categoria:Tensori]] [[Categoria:Algebra lineare]] [[Categoria:Fisica della materia condensata]] [[Categoria:Meccanica quantistica]] [[Categoria:Elaborazione digitale delle immagini]]