Trigonometria sferica

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Triangoli sferici

La trigonometria sferica è un ramo della geometria sferica che si occupa delle relazioni tra lati ed angoli dei poligoni ed in particolare dei triangoli costruiti su di una sfera. È di notevole importanza per i calcoli astronomici e per la navigazione sia aerea che terrestre.

Il primo trattato di trigonometria sferica è stato scritto da Al-Jayyani, un matematico arabo, nel 1060 d.C.

Linee sulla sfera[modifica | modifica wikitesto]

Sulla superficie di una sfera, l'analogo di una linea retta è un cerchio massimo, ossia un cerchio il cui centro coincide con il centro della sfera (ad esempio l'equatore e i meridiani sono cerchi massimi rispetto alla Terra). Come i segmenti su di un piano, il più breve percorso tra due punti sulla superficie della sfera è un arco di cerchio massimo (geodetica).

Un'area della sfera che sia delimitata da archi di cerchio massimo è detto poligono sferico. In questo modo sono possibili "biangoli" sferici (poligoni dotati di due soli lati), diversamente dal caso planare.

I lati di questi poligoni non sono identificati per la loro lunghezza lineare, ma tramite l'angolo sotteso da essi rispetto al centro della sfera. La lunghezza dell'arco è dato dall'angolo al centro, misurato in radianti moltiplicato per il raggio della sfera.

Un triangolo sferico è quindi determinato dai suoi angoli e lati, specificati non dalla loro lunghezza lineare, ma dall'angolo al centro sotteso. La somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di 180°. La differenza tra la somma dei suoi angoli interni e 180° è detta eccesso sferico E: E = α + β + γ - 180° (dove α, β e γ si riferiscono agli angoli tra i lati). Per il teorema di Girard, l'eccesso sferico determina la superficie di ogni triangolo sferico. Dato E espresso in radianti e il raggio della sfera R, l'area A del triangolo sferico sarà: 
A = ER^2.
Da questa formula, mediante l'applicazione del teorema di Gauss-Bonnet, risulta chiaro che non sono possibili triangoli simili (ossia con angoli uguali ma con diversa lunghezza dei lati) su di una stessa sfera, tranne nel caso di una sfera di raggio unitario per cui si ha A = E.

il pentagono di Napier e le sue relazioni con il triangolo sferico retto

Per risolvere un problema geometrico su di una sfera, occorre suddividere la figura in triangoli sferici retti , ossia triangoli aventi un angolo pari a 90°, in modo da applicare il pentagono di Napier. Si tratta di un aiuto mnemonico per trovare facilmente le relazioni sussistenti tra gli angoli in un triangolo sferico retto: occorre scrivere i sei angoli (tre angoli e tre lati) del triangolo in ordine circolare (si comincia con un vertice e si procede con il lato adiacente) eliminando l'angolo di 90° e rimpiazzando i due lati adiacenti (a, b) con i loro complementi (ossia 90°-a, 90°-b). Il coseno di ciascuno dei cinque angoli sul pentagono di Napier è uguale:

  • al prodotto delle cotangenti dei due angoli adiacenti
  • al prodotto dei seni dei due angoli opposti

Identità[modifica | modifica wikitesto]

I triangoli sferici soddisfano la legge dei coseni sferici

\cos c= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C

L'identità si può derivare considerando il triangolo formato dalle linee tangenti che sottendono l'angolo C e usando la legge dei coseni piana. C'è anche un analogo della legge dei seni

\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}.

e il teorema delle cotangenti

\cot(a)=\frac{\left[\cos(c)\cos(B)+\sin(B)\cot(A)\right]}{\sin(c)}=\frac{\left[\cos(b)\cos(C)+\sin(C)\cot(A)\right]}{\sin(b)}
\cot(b)=\frac{\left[\cos(a)\cos(C)+\sin(C)\cot(B)\right]}{\sin(a)}=\frac{\left[\cos(c)\cos(A)+\sin(A)\cot(B)\right]}{\sin(c)}
\cot(c)=\frac{\left[\cos(a)\cos(B)+\sin(B)\cot(C)\right]}{\sin(a)}=\frac{\left[\cos(b)\cos(A)+\sin(A)\cot(C)\right]}{\sin(b)}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]