Teorema di Poynting

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In fisica, il teorema di Poynting è una relazione integrale a cui deve sottostare ogni soluzione delle equazioni di Maxwell. Pubblicato dal fisico inglese John Henry Poynting nel 1884, è un teorema di fondamentale importanza per la sua interpretazione energetica, dal momento che esprime il principio di conservazione dell'energia per il campo elettromagnetico.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Energia del campo elettromagnetico.

Il teorema di Poynting esprime la conservazione dell'energia del campo elettromagnetico nel caso in cui i campi elettrico e magnetico siano accoppiati, cosa che non avviene in generale nel caso stazionario. Il teorema afferma che la variazione nel tempo della densità di energia u sommata alla variazione nello spazio del vettore di Poynting sia pari alla potenza dissipata dal campo nel materiale per effetto Joule:[1]

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\rho_E \mathbf{v}\cdot\mathbf{E}

dove \mathbf{S} è il vettore di Poynting, \rho_E \mathbf{v} la densità di corrente, \mathbf{E} il campo elettrico e \rho_E \mathbf{v}\cdot\mathbf{E} la densità di potenza trasferita alle cariche libere del materiale. Il teorema esprime in forma locale la conservazione dell'energia associata al campo elettromagnetico.

La densità di energia u è data da:

u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right)

In forma integrale il teorema diviene:

\frac{d}{dt} \int_V u \  dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \cdot  d\mathbf{A} = -\int_V\rho_E \mathbf{v}\cdot\mathbf{E} \ dV

Il teorema di Poynting è una diretta conseguenza delle equazioni di Maxwell, e non rappresenta un ulteriore legame tra i vettori del campo elettromagnetico.

Dal punto di vista fisico la relazione afferma che la variazione temporale dell'energia associata al campo elettromagnetico all'interno di una superficie contenente un materiale conduttore è pari al flusso del vettore di Poynting, che rappresenta l'energia trasportata dal campo attraverso la superficie, sommata all'energia trasferita alle cariche libere del materiale contenuto in essa.[1]

Generalizzazione[modifica | modifica sorgente]

L'energia meccanica delle cariche elettriche è, in modo equivalente alla precedente formulazione del teorema ed in accordo con l'equazione di continuità per l'energia:


\frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) =
\rho_E \mathbf{v}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t)

dove u_m rappresenta la densità di energia cinetica, somma delle energie delle singole particelle \alpha, la cui traiettoria è data da \mathbf{r}_{\alpha}(t):


u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t))

Il flusso dell'energia meccanica, equivalente al vettore di Poynting per l'energia elettromagnetica, è definito come:


\mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)).

Le due espressioni del teorema sono legate dalla forza di Lorentz che il campo esercita sulle particelle cariche in moto, ed imponendo la conservazione dell'energia si ottiene la generalizzazione:[2]


\frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e +
\mathbf{S}_m\right) = 0

che ricopre entrambe le tipologie di energia in gioco. In forma integrale il teorema diviene:

\oint_{\partial V} \mathbf{E} \times \mathbf{H} \cdot \operatorname d \mathbf r^2 + \int_V \rho_E \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}\, \operatorname dr^3+ \int_V \left( \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right)\, \operatorname dr^3= -\int_V(\rho_E \mathbf{v}_{mi} \cdot \mathbf{H} + \rho_E \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{E})\, \operatorname dr^3

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

L'enunciato si ricava a partire dalle due equazioni di Maxwell al rotore, la legge di Faraday-Neumann-Lenz e la legge di Ampère-Maxwell:

\begin{cases}\nabla \times \mathbf{E} = - \rho_E \mathbf{v}_{mi} - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\
\nabla \times \mathbf{H} = \rho_E \mathbf{v}_i + \rho_E \mathbf{v} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\end{cases}

Moltiplicando scalarmente per \mathbf{H} la prima equazione e per \mathbf{E} la seconda, e successivamente sottraendo membro a membro, si ottiene:

\mathbf{H} \cdot \nabla \times \mathbf{E} - \mathbf{E} \cdot \nabla \times \mathbf{H} = -\rho_E \mathbf{v}_{mi} \cdot \mathbf{H} - \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} - \rho_E \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{E} - \rho_E \mathbf{v} \cdot \mathbf{E} - \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

Per una proprietà dell'operatore nabla:

\nabla \cdot (\mathbf A \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf A - \mathbf A \cdot \nabla \times \mathbf{B}

il primo membro è pari a:

\mathbf{H} \cdot \nabla \times \mathbf{E} - \mathbf{E} \cdot \nabla \times \mathbf{H} = \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})

Integrando su un volume arbitrario \tau, racchiuso da una superficie chiusa S, sulla quale sia \mathbf{n} il versore della normale diretta verso l'esterno, si ha:

\int_\tau \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})\, d\tau + \int_\tau \rho_E \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}\, d\tau + \int_\tau \left( \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right)\, d\tau = -\int_\tau (\rho_E \mathbf{v}_{mi} \cdot \mathbf{H} + \rho_E \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{E})\, d\tau

Applicando il teorema della divergenza al primo termine del primo membro segue il Teorema di Poynting.

Analisi energetica[modifica | modifica sorgente]

Data una carica puntiforme q che si muove con velocità \mathbf{u} in una regione sede di un campo elettrico \mathbf{E} e di un'induzione magnetica \mathbf{B}, essa sarà soggetta alla forza di Lorentz:

\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B})

Dunque il campo elettrico le fornisce una potenza pari a:

\mathbf{u} \cdot \mathbf{F} = q\mathbf{u} \cdot \mathbf{E} + q\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \times \mathbf{B}

Per le proprietà del prodotto misto fra vettori, si ha:

\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \times \mathbf{B} = \mathbf{u} \times \mathbf{u} \cdot \mathbf{B} = 0

essendo il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso identicamente nullo.

La potenza risulta quindi essere:

\mathbf{u} \cdot \mathbf{F} = q\mathbf{u} \cdot \mathbf{E}

Considerando invece una densità di carica \rho si otterrà una densità di forza

\mathbf{f} = \rho(\mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B})

e una densità di potenza

\mathbf{u} \cdot \mathbf{f} = \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{E} = \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}

essendo \rho \mathbf{u} una densità di carica in movimento, e dunque una densità di corrente \mathbf{J}.

Dunque il termine p_c=\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} rappresenta la densità di potenza fornita dal campo elettrico \mathbf{E} alla densità di corrente elettrica \mathbf{J}, ovvero la densità di potenza dissipata per effetto Joule.

La densità di potenza scambiata con il campo magnetico ed elettrico è:

p_H = \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mu \mathbf{H}}{\partial t} = \mu \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = \mu \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{H} \cdot \mathbf{H} \right) = \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{H} \cdot \mathbf{B} \right) = \frac{\partial w_H}{\partial t}

dove w_H è la densità di energia associata al campo magnetico.
Analogamente per il campo elettrico si ha:

p_E = \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \right) = \frac{\partial w_E}{\partial t}

Densità di potenza irradiata[modifica | modifica sorgente]

La potenza irradiata attraverso la superficie chiusa S è il flusso del vettore di Poynting attraverso S, la cui densità superficiale è espressa dal termine \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\Pi}.

È importante notare che al suddetto termine non è possibile attribuire il significato di potenza che attraversa l'unità di superficie (ad esempio la potenza per unità di superficie perpendicolare alla direzione di propagazione di un'onda elettromagnetica).
Considerato infatti un campo generato da cariche elettrostatiche e magneti permamenti, in generale \mathbf{E} \times \mathbf{H} \ne 0 e quindi il flusso di \boldsymbol{\Pi} attraverso una superficie aperta sarebbe non nullo. Non può però essere una potenza irradiata in quanto le sorgenti del campo elettromagnetico sono statiche. Infatti, per le sorgenti del campo considerate si ha:

\begin{cases} \nabla \times \mathbf{E} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{H} = 0 \end{cases}

e dunque:

\oint_S \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\Pi} \,dS = \int_\tau \nabla \cdot \boldsymbol{\Pi} \,d\tau = \int_\tau \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) \,d\tau = \int_\tau (\mathbf{H} \cdot \nabla \times \mathbf{E} - \mathbf{E} \cdot \nabla \times \mathbf{H}) \,d\tau = 0

da cui si ricava che il flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie chiusa è in realtà nullo.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 491
  2. ^ Richter, E., Florian, M.; Henneberger, K., Poynting's theorem and energy conservation in the propagation of light in bounded media (reprint) in Europhys. Lett., vol. 81, 2008, p. 67005, DOI:10.1209/0295-5075/81/67005.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • Gerosa, Lampariello, Lezioni di campi elettromagnetici, Edizioni Ingegneria 2000.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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