Potenziale di Lennard-Jones

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Andamento del potenziale intermolecolare con la distanza

Il potenziale di Lennard-Jones è il più noto e il più usato dei potenziali empirici per descrivere l'interazione interatomica ed intermolecolare.

A distanze interatomiche o intermolecolari molto piccole le densità elettroniche si sovrappongono generando forze repulsive molto intense, caratterizzate da un raggio d'azione molto corto e dal fatto che crescono rapidamente all'avvicinarsi delle molecole. Per esse non esiste un'equazione ricavata teoricamente che le descriva, dunque ci si deve affidare ad alcune funzioni potenziali empiriche.

Il potenziale[modifica | modifica sorgente]

La più famosa funzione potenziale empirica, la legge 12-6,[1] che comprende anche la parte attrattiva dovuta all'interazione di van der Waals, è il potenziale proposto nel 1931 da John Lennard-Jones all'Università di Bristol:[2]

\displaystyle V(r)=4 \varepsilon \cdot \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r} \right)^6 \right]

dove ε è la profondità della buca di potenziale e σ è il diametro della sfera che approssima l'atomo o la molecola in un modello a sfera rigida (chiamato diametro d'urto delle molecole). Questa espressione del potenziale tiene in considerazione anche l'azione delle forze attrattive di van der Waals.

La forza viene ricavata a partire dall'espressione precedente per il potenziale (utile per simulazioni di dinamica molecolare):

 \mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \varepsilon \left( 12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{\mathbf{r}}.

Il potenziale di Lennard-Jones è particolarmente adatto per simulazioni di gas nobili (e particolarmente per l'argon).

Forze attrattive e forze repulsive[modifica | modifica sorgente]

Il potenziale di Lennard-Jones è il risultato di due termini:

  • la parte che va con la sesta potenza è il contributo attrattivo delle forze di Van der Waals (forze dipolo-dipolo e forze dipolo-dipolo indotto) e prevale a distanze grandi
  • la parte che va con la potenza di dodici descrive le forze repulsive che si instaurano a corto range fra i nuclei che, a distanze piccole non sono più ben schermati dagli elettroni, e fra gli elettroni stessi, soggetti a una forza repulsiva che si genera quando due o più di essi tendono ad occupare gli stessi numeri quantici, in contrasto al principio di Pauli.

Le forze di Van der Waals hanno un range compreso fra qualche Ǻ e un centinaio di Ǻ, mentre le forze repulsive sopra citate entrano in gioco a distanze minori di qualche Ǻ. L'entità delle forze a lungo raggio è conoscibile a partire dalla teoria di Van der Waals, mentre le forze a corto raggio sono determinate per via empirica.

Espressioni alternative[modifica | modifica sorgente]

Il potenziale di Lennard-Jones può essere espresso come:

V(r) = \varepsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]

dove \displaystyle\, r_{min}= 2^{1/6}\sigma è la posizione del minimo del potenziale, ovvero la distanza alla quale si ha la buca di potenziale.

La formulazione più semplice, usata spesso nei software di simulazione, è:

\displaystyle V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}

dove:

  • \displaystyle\, A = 4 \varepsilon \sigma^{12}
  • \displaystyle\, B = 4 \varepsilon \sigma^6
  •  \displaystyle \sigma = \left( \frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} }
  • \displaystyle\varepsilon = \frac{B^2}{4 A}.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ il termine 12-6 fa riferimento ai valori degli esponenti nell'espressione del potenziale di Lennard-Jones.
  2. ^ Bird, op. cit., p. 521

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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