Potenziale di Morse

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Il potenziale di Morse (in blu) e il potenziale dell'oscillatore armonico (in verde). Diversamente dai livelli energetici del potenziale dell'oscillatore armonico, che sono uniformemente distanziati di ħω, la distanza tra i livelli del potenziale di Morse diminuisce quando l'energia tende al valore dell'energia di dissociazione. L'energia di dissociazione De è maggiore rispetto alla vera energia richiesta per la dissociazione D0 dovuta all'energia al punto zero del più basso livello vibrazionale (v = 0).

Il potenziale di Morse, dal nome del fisico statunitense Philip M. Morse, è un conveniente modello per l'energia potenziale di una molecola biatomica. È una migliore approssimazione per descrivere la struttura vibrazionale delle molecole rispetto all'oscillatore armonico quantistico in quanto include esplicitamente gli effetti della rottura del legame chimico, come l'esistenza di stati non legati. Rende conto anche dell'anarmonicità dei legami reali e la probabilità di transizione non nulla delle bande di overtone e di combinazione.

Espressione dell'energia potenziale[modifica | modifica wikitesto]

L'energia potenziale di Morse ha la forma:[1]

V(r) = D_e [ 1-e^{-a(r-r_e)} ]^2,

dove r è la distanza fra gli atomi, r_e è la distanza all'equilibrio, D_e profondità del potenziale (definita rispetto agli atomi non legati), ed a controlla la larghezza del potenziale. L'energia di dissociazione del legame può essere calcolata sottraendo l'energia al punto zero dalla profondità del potenziale. La costante di forza del legame può essere determinata considerando la derivata seconda della funzione dell'energia potenziale, dalla quale si dimostra che il parametro a vale

a=\sqrt{k_e/2D_e},

dove k_e è la costante di forza al minimo del potenziale.

Naturalmente, lo zero di energia potenziale è arbitrario, e l'equazione per il potenziale di Morse può essere riscritta in qualsiasi modo addizionando o sottraendo un valore costante.

Energia vibrazionale[modifica | modifica wikitesto]

Gli stati stazionari sul potenziale di Morse hanno autovalori

E(v) = h\nu_0 (v+1/2) - \frac{\left[h\nu_0(v+1/2)\right]^2}{4D_e}

dove v è il numero quantico vibrazionale, e \nu_0 ha le dimensioni della frequenza, ed è matematicamente correlata alla massa della particella m e alle costanti di Morse tramite la relazione

\nu_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{2D_e/m}.

Mentre la distanza energetica tra i livelli vibrazionali nell'oscillatore armonico quantistico è costante a hv_0, nell'oscillatore di Morse l'energia tra livelli adiacenti diminuisce all'aumentare di v.

Matematicamente, la distanza tra i livelli di Morse equivale a

E(v+1) - E(v) = h\nu_0 - (v+1) (h\nu_0)^2/2D_e.

Questo andamento rende conto dell'anarmonicità riscontrata nelle molecole reali. Tuttavia, questa equazione fallisce al di sopra di alcuni valori di v dove la differenza E(v+1) - E(v) risulta uguale a zero o negativa. Questo fallimento è dovuto al numero finito di livelli di legame nel potenziale di Morse, e qualche v massimo, v_m rimane legato. Per energie superiori a v_m, tutti i possibili livelli energetici sono permessi e l'equazione che esprime E(v) non è più valida.

Al di sotto di v_m, E(v) è una buona approssimazione per la vera struttura vibrazionale in molecole biatomiche non ruotanti. Infatti, gli spettri molecolari reali generalmente seguono la relazione[2]

 E_v / hc = \omega_e (v+1/2) - \omega_e\chi_e (v+1/2)^2

nella quale le costanti \omega_e e \omega_e\chi_e possono essere direttamente correlate ai parametri per il potenziale di Morse.

Soluzione dell'equazione di Schrödinger per l'oscillatore di Morse[modifica | modifica wikitesto]

Similmente all'oscillatore armonico quantistico, le energie e gli autostati del potenziale di Morse possono essere calcolati utilizzando metodi che sfruttano gli operatori. Uno di questi approcci applica il metodo di fattorizzazione all'hamiltoniano.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "Morse potential"
  2. ^ CRC Handbook of chemistry and physics, Ed David R. Lide, 87th ed, Section 9, Spectroscopic constants of diatomic molecules p. 9-82.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • P. M. Morse, Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels. Phys. Rev. 1929, 34, 57-64. DOI: 10.1103/PhysRev.34.57
  • I.G. Kaplan, in Handbook of Molecular Physics and Quantum Chemistry, Wiley, 2003, p207.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]