Anarmonicità

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L'anarmonicità rappresenta la deviazione di un sistema oscillante rispetto al modello dell'oscillatore armonico, ed è calcolabile facendo ricorso alla teoria perturbativa nel caso di basse anarmonicità o ad altre tecniche numeriche se essa è consistente. Nell'oscillatore anarmonico è possibile osservare multipli della frequenza fondamentale dell'oscillatore \omega_A che differisce dalla \omega_N del moto armonico in prima approssimazione proporzionalmente al quadrato della ampiezza di oscillazione A:

\; \Delta \omega_A = \omega_A - \omega_N
\Delta \omega_A\propto A^2.

Perciò risulta il manifestarsi di oscillazioni con le frequenze delle armoniche superiori 2\omega_A e 3\omega_A ecc., dove \omega_A è la frequenza fondamentale dell'oscillatore. Inoltre, la frequenza \omega_A devia dalla frequenza naturale \omega_N.

In un sistema di oscillatori con modi normali \omega_\alpha, \omega_\beta, ... l'anarmonicità si risolve in oscillazioni addizionali con frequenze \omega_\alpha\pm \omega_\beta.

L'anarmonicità modifica anche il profilo della curva di risonanza, portando ad interessanti fenomeni come la risonanza nonlineare e la risonanza superarmonica.

Principio generale[modifica | modifica sorgente]

Una versione generalizzata dell'oscillatore armonico è quella di un sistema altamente idealizzato che oscilla con una singola frequenza, irrispettosa della quantità di energia cedutagli dall'esterno. Conseguentemente, la frequenza fondamentale dell'oscillatore armonico è indipendente dall'ampiezza delle vibrazioni. In un oscillatore anarmonico accade il contrario: la relazione dinamica tra forza e spostamento non è più lineare ma dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, e quindi anche la frequenza può dipendervi. Questi cambiamenti risultano in un accoppiamento parametrico dell'energia ad altre frequenze.

Esempi fisici[modifica | modifica sorgente]

Ci sono molti sistemi nel mondo fisico: a livello meccanico la nonlinearità sorge già nel caso più semplice nel pendolo matematico per angoli crescenti, che tende peraltro a esibire comportamenti caotici; come anche in una molla in snervamento o il cui peso non è rigido. In effetti la nonlinearità sopraggiunge quando l'ampiezza oltrepassa valori-soglia.

Esempi fuori dalla meccanica sono semiconduttori non in equilibrio che posseggono una popolazione calda abbastanza grande e che tendono ad esibire oscillazioni anarmoniche legate alla massa effettive delle cariche, così come plasmi ionosferici. Un atomo la sperimenta uno sdoppiamento tra centro di massa del nucleo atomico e la nube elettronica sotto l'applicazione di un campo elettrico: si genera un dipolo elettricoche si comporta come oscillatore, e per intensità di campo crescenti perde la sua linearità come un sistema meccanico. L'anarmonicità gioca anche un ruolo importante nei reticoli cristallini, nelle vibrazioni quantistiche molecolari [1], e in acustica.

Metodo di Weierstrass[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un potenziale unidimensionale U(x) supposto simmetrico rispetto all'asse U, la forma della curva può essere implicitamente determinata a partire dal periodo T(E) delle oscillazioni con energia totale E secondo l'equazione:

x(U)=\frac{1}{2\pi \sqrt{2m}}\int_0^U\frac{T(E)\,dE}{\sqrt{U-E}}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]