Funzione non espansiva

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In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.

Più precisamente, se X e Y sono spazi metrici e f:X \to Y allora essa si dice non espansiva se

d_Y(f(x),f(y)) \leq d_X(x,y) per ogni x, y in X.

Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora f è un'isometria.

Teorema[modifica | modifica sorgente]

Se X è uno spazio normato, S un suo sottoinsieme compatto e convesso e T:S \to S è non espansiva, allora T ammette punto fisso, cioè esiste un x in S tale che T(x)=x.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per ogni n numero naturale e per un fissato x_0 in S definiamo f_n(x)=(1-k_n)x_0+k_n T(x), dove (k_n)_{n \in N} \subset (0,1) è una successione di numeri reali convergente a 1. È

\|f_n(x)-f_n(y)\|=\|k_n(T(x)-T(y)\|=k_n\|T(x)-T(y)\| < \|T(x)-T(y)\| \leq \|x-y\|,

dunque per ogni n naturale f_n è una contrazione; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli ammette un unico punto fisso x_n.

Sia (x_n)_n la successione dei punti fissi. Essa è contenuta in S, dunque essendo S compatto per successioni esiste una sottosuccessione (x_p)_p \subset (x_n)_n convergente in S ad un punto y. Allora è

\|y-T(y)\| \leq \|y-x_p\| + \|x_p - T(x_p)\| + \|T(x_p)-T(y)\|.

Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su x_p e per la continuità di T. Il secondo addendo è

\|x_p - T(x_p)\|=\|f_p(x_p)-T(x_p)\|=\|(1-k_p)x_0 + k_p T(x_p)-T(x_p)\|,

dunque quando p \to \infty il primo addendo dentro la norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a T(y), cioè \|x_p - T(x_p)\| \to 0.

Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è

0 \leq \|y-T(y)\| \leq 0, cioè \|y-T(y)\|=0, cioè y=T(y).


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