Funzione non espansiva

In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.

Più precisamente, se $X$ e $Y$ sono spazi metrici e $f:X \to Y$ allora essa si dice non espansiva se

$d_Y(f(x),f(y)) \leq d_X(x,y)$ per ogni $x, y$ in $X$.

Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora $f$ è un'isometria.

Teorema

Se $X$ è uno spazio normato, $S$ un suo sottoinsieme compatto e convesso e $T:S \to S$ è non espansiva, allora $T$ ammette punto fisso, cioè esiste un $x$ in $S$ tale che $T(x)=x$.

Dimostrazione

Per ogni $n$ numero naturale e per un fissato $x_0$ in $S$ definiamo $f_n(x)=(1-k_n)x_0+k_n T(x)$, dove $(k_n)_{n \in N} \subset (0,1)$ è una successione di numeri reali convergente a 1. È

$\|f_n(x)-f_n(y)\|=\|k_n(T(x)-T(y)\|=k_n\|T(x)-T(y)\| < \|T(x)-T(y)\| \leq \|x-y\|$,

dunque per ogni $n$ naturale $f_n$ è una contrazione; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Cacioppoli ammette un unico punto fisso $x_n$.

Sia $(x_n)_n$ la successione dei punti fissi. Essa è contenuta in $S$, dunque essendo $S$ compatto per successioni esiste una sottosuccessione $(x_p)_p \subset (x_n)_n$ convergente in $S$ ad un punto $y$. Allora è

$\|y-T(y)\| \leq \|y-x_p\| + \|x_p - T(x_p)\| + \|T(x_p)-T(y)\|$.

Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su $x_p$ e per la continuità di $T$. Il secondo addendo è

$\|x_p - T(x_p)\|=\|f_p(x_p)-T(x_p)\|=\|(1-k_p)x_0 + k_p T(x_p)-T(x_p)\|$,

dunque quando $p \to \infty$ il primo addendo dentro la norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a $T(y)$, cioè $\|x_p - T(x_p)\| \to 0$.

Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è

$0 \leq \|y-T(y)\| \leq 0$, cioè $\|y-T(y)\|=0$, cioè $y=T(y)$.

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