Contrazione (spazio metrico)

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In matematica, una contrazione o applicazione di contrazione è una funzione da uno spazio metrico in se stesso tale che la distanza tra l'immagine di due elementi qualsiasi del dominio sia inferiore alla distanza delle relative controimmagini.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Sia (X,d) uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione  f : X \rightarrow X tale che esiste una costante reale 0 < k < 1 che soddisfa la seguente condizione:[1]

d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y) \quad \forall x,y \in X

Il più piccolo valore di k per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di f.

Alcuni autori definiscono la precedente condizione contrazione stretta, riservando il termine "contrazione" alla proprietà:[2]

d(f(x),f(y))\leq \,d(x,y) \quad \forall x,y \in X

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Ogni contrazione è lipschitziana, e quindi uniformemente continua su  X . Sia infatti  T tale che esista un numero reale  \Lambda \geq 0 per cui valga per ogni  x,y \in X

 d(T(x),T(y)) \leq \Lambda \; d(x,y) \

se  0 \leq \Lambda < 1 si ricade nel caso di contrazione.

Inoltre, per ogni  \varepsilon > 0, \; x,y \in X esiste  \delta > 0 tale che:

 d(x,y) < \delta \quad d(T(x),T(y)) < k \delta \

È sufficiente porre  \delta = \varepsilon / k per ottenere la definizione di uniforme continuità.

Il teorema delle contrazioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema delle contrazioni.

Sia (X, d) uno spazio metrico completo non vuoto. Sia  T : X \rightarrow X una contrazione su  X . Allora la mappa  T ammette uno e un solo punto fisso.[2]

Il teorema assicura che se (X, d) è uno spazio metrico completo e non vuoto, allora il punto fisso esiste ed è unico e che, fissato un qualunque x_0 in (X, d), la successione definita per ricorrenza x_1 := x_0, x_{n+1} := f(x_n) converge al punto fisso. Tale teorema è usato nella dimostrazione dell'esistenza ed unicità della soluzione per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, sotto opportune ipotesi, precisate dal teorema di Cauchy-Lipschitz. La successione ricorsiva sopra definita, nel caso in cui la funzione sia una contrazione di uno spazio metrico (o di un suo sottoinsieme) in sé, costituisce chiaramente anche un metodo per il calcolo approssimato della radice dell'equazione funzionale x=f(x).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 222
  2. ^ a b Reed, Simon, op. cit., Pag. 151

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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