Costante di Loschmidt

La costante di Loschmidt o il numero di Loschmidt (simbolo: n₀) è il numero di particelle (atomi o molecole) di un gas ideale in un dato volume (la densità di numero) e di solito citato a temperatura e pressione standard. Il valore CODATA consigliato nel 2014 è 2,6867811(15)×10²⁵ per metro cubo a 0 °C e 1 atm. Prende il nome dal fisico austriaco Johann Josef Loschmidt, che fu il primo a stimare la dimensione fisica delle molecole nel 1865. Il termine "costante di Loschmidt" è talvolta usato anche per riferirsi alla costante di Avogadro, in particolare nei testi tedeschi.

La costante di Loschmidt è data dalla relazione:

$n_{0}={\frac {p_{0}}{k_{\rm {B}}T_{0}}}$

dove p₀ è la pressione, k_B è la costante di Boltzmann e T₀ è la temperatura assoluta. Esso è legato alla costante di Avogadro, N_A, da:

$n_{0}={\frac {p_{0}N_{\rm {A}}}{RT_{0}}}$

dove R è la costante dei gas.

Essendo una misura della densità di numero, la costante di Loschmidt viene utilizzata per definire l'amagat, un'unità pratica di densità numerica per gas e altre sostanze:

1 amagat = n₀ = 2,6867811×10²⁵ m^-3 ,

tale che la costante di Loschmidt sia esattamente 1 amagat.

Determinazioni moderne

Nella serie CODATA di valori raccomandati per le costanti fisiche, la costante di Loschmidt viene calcolata dalla costante dei gas e dalla costante di Avogadro:

$n_{0}={\frac {N_{\rm {A}}}{R}}{\frac {p_{0}}{T_{0}}}={\frac {A_{\rm {r}}({\rm {e}})M_{\rm {u}}c\alpha ^{2}}{2R_{\infty }hR}}{\frac {p_{0}}{T_{0}}}$

dove A_r(e) è la massa atomica relativa dell'elettrone, M_u è la costante di massa molare, c è la velocità della luce, α è la costante di struttura fine, R_∞ è la costante di Rydberg e h è la costante di Planck. La pressione e la temperatura possono essere scelte liberamente e devono essere quotate con i valori della costante di Loschmidt. La precisione alla quale è attualmente nota la costante di Loschmidt è del tutto limitata dall'incertezza nel valore della costante dei gas.

Prime determinazioni

Loschmidt in realtà non ha calcolato un valore per la costante che ora porta il suo nome, ma si tratta di una manipolazione semplice e logica dei risultati pubblicati. James Clerk Maxwell ha descritto l'articolo in questi termini in una conferenza pubblica otto anni dopo:

«Loschmidt ha dedotto dalla teoria dinamica la seguente proporzione notevole: - come il volume di un gas è rispetto al volume combinato di tutte le molecole in esso contenute, così è il percorso medio di una molecola a un ottavo del diametro di una molecola.»

Per derivare questa "notevole proporzione", Loschmidt è partito dalla definizione di Maxwell del cammino libero medio :

$\ell ={\frac {3}{4n_{0}\pi d^{2}}}$

dove n₀ ha lo stesso senso come la costante Loschmidt, che è il numero di molecole per unità di volume, e d è il diametro effettivo delle molecole (considerate essere sferiche). Questo diventa

${\frac {1}{n_{0}}}={\frac {16}{3}}{\frac {\pi \ell d^{2}}{4}}$

dove 1 / n₀ è il volume occupato da ciascuna molecola in fase gassosa e πℓd²/4 è il volume del cilindro composto dalla molecola nella sua traiettoria tra due collisioni. Tuttavia, il volume reale di ogni molecola è dato da πd³/6 e quindi n₀πd³/6 è il volume occupato da tutte le molecole senza contare lo spazio vuoto tra di esse. Loschmidt ha equiparato questo volume al volume del gas liquefatto. Dividendo entrambi i lati dell'equazione per n₀πd³/6 ha l'effetto di introdurre un fattore V_liquido / V_gas, che Loschmidt ha chiamato "coefficiente di condensazione" e che è sperimentalmente misurabile. L'equazione si riduce a:

$d=8{\frac {V_{\rm {l}}}{V_{\rm {g}}}}\ell$

e questa permette di collegare il diametro di una molecola di gas a fenomeni misurabili.

La densità di numero, la costante che ora porta il nome di Loschmidt, può essere trovata semplicemente sostituendo il diametro della molecola nella definizione del percorso libero medio e sistemando:

$n_{0}=\left({\frac {V_{\rm {g}}}{V_{\rm {l}}}}\right)^{2}{\frac {3}{256\pi \ell ^{3}}}$

Invece di fare questo passo, Loschmidt ha deciso di stimare il diametro medio delle molecole nell'aria. Non si trattava di un'impresa da poco, poiché il coefficiente di condensazione era sconosciuto e doveva essere stimato: sarebbero passati altri dodici anni prima che Pictet e Cailletet liquefacessero l'azoto per la prima volta. Anche il percorso libero medio era incerto. Tuttavia, Loschmidt è arrivato a un diametro di circa un nanometro, dell'ordine di grandezza corretto.

I dati stimati di Loschmidt per l'aria danno un valore di n₀= 1,81×10²⁴ m^-3. Otto anni dopo, Maxwell citò una cifra di "circa 19 milioni di milioni di milioni" per cm³, ovvero 1,9×10²⁵ m^-3 .

Voci correlate

• Legge di Avogadro