Esponente di Ljapunov

Nella teoria dei sistemi dinamici, un esponente di Lyapunov di un sistema dinamico (deterministico) in un punto $p$ fornisce una misura di quanto sensibilmente le orbite del sistema sono dipendenti dai dati iniziali e sono quindi degli indicatori della presenza di dinamiche caotiche. Ciò che gli esponenti di Lyapunov misurano è in particolare la velocità media di allontanamento delle orbite dei punti vicini a $p$ dall'orbita di $p$ e per tempi sufficientemente lunghi. Più precisamente, ad un punto $p$ sono associati un numero di esponenti di Lyapunov pari alla dimensione dello spazio e se l'esponente di Lyapunov massimo è $\lambda$ e la distanza euclidea tra $p$ ed un punto vicino è abbastanza piccola, tale distanza avrà un'evoluzione nel tempo che per tempi $t$ grandi sarà circa $\delta (t)=C\cdot e^{\lambda t}$ (questo in realtà non accade per tutti i punti ma per quasi ogni punto). Se ne deduce che se il massimo esponente di Lyapunov del sistema è positivo allora il sistema presenta una dipendenza sensibile dai dati iniziali (in modo esponenziale), ed è quindi un sistema caotico.

Mappe unidimensionali

Sia $I\subset \mathbb {R}$ e $T:I\rightarrow I$ una funzione derivabile, e si consideri il sistema dinamico discreto dato dall'iterazione della mappa $T$. Si definisce l'esponente di Lyapunov del punto $x_{0}$, ovvero dell'orbita $\{x_{0},x_{1},...,x_{n},...\}$, come:

$\lambda (x_{0}):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\log |T'(x_{k})|$

o equivalentemente come:

$\lambda (x_{0}):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log \left|{\frac {d}{dx}}T^{n}(x_{0})\right|$

ove il limite esiste.

Per motivare questa definizione si può osservare in primo luogo che la derivata di $T$ in un punto $x_{0}$ fornisce la velocità con cui i punti vicini a $x_{0}$ si sono allontanati dopo una iterazione: se la distanza iniziale tra due punti vicini a $x_{0}$ è $\delta$, dopo l'applicazione di $T$ questa diventa $\delta |T^{\prime }(x_{0})|$, ovvero $\delta e^{\log |T'(x_{0})|}$. Inoltre, il prodotto $|T^{\prime }(x_{0})|\cdots |T^{\prime }(x_{n})|$ fornisce la derivata dell'iterazione $T^{n}$ nel punto $x_{0}$, da cui si ha la velocità con cui i punti vicini a $x_{0}$ si sono allontanati dopo $n$ iterazioni. Più precisamente, se la distanza iniziale tra due punti vicini a $x_{0}$ è $\delta$, dopo l'applicazione di $T^{n}$ questa diventa $\delta |T^{\prime }(x_{1})|\cdots |T^{\prime }(x_{n})|$, ovvero:

$\delta e^{\log(|T'(x_{0})|\cdots |T'(x_{n})|)}=\delta e^{\log |T'(x_{0})|+...+\log |T'(x_{n})|}$

che si può scrivere (tenendo presente il discorso iniziale ed il fatto che il tempo che stiamo considerando è $n$) come:

$\delta e^{n{\frac {\log |T'(x_{0})|+...+\log |T'(x_{n})|}{n}}}$

Da queste osservazioni si conclude che se esiste il limite $\lambda (x_{0})$ per la quantità:

${\frac {\log |T'(x_{0})|+...+\log |T'(x_{n})|}{n}}$

allora per tempi $n$ molto lunghi si ha che la distanza tra due orbite vicine a $x_{0}$ è cresciuta con un fattore moltiplicativo approssimativamente uguale a $e^{\lambda (x_{0})n}$.

Mappe multidimensionali

Per una mappa $f:\mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ differenziabile ed una sua orbita si possono definire $m$ esponenti di Lyapunov $\lambda _{1},...,\lambda _{m}$ che misurano la velocità di separazione dall'orbita in $m$ direzioni ortogonali in modo che lungo la direzione $i$-esima le distanze tra punti vicini all'orbita evolveranno come $\delta _{0}e^{\lambda _{i}n}$ per $n$ grandi. La prima direzione sarà quella in cui tale velocità è massima, la seconda sarà scelta come quella di velocità massima nell'insieme delle direzioni ortogonali alla prima, e così via. Nelle direzioni che sono combinazioni lineari di due direzioni associate ad esponenti di Lyapunov diversi la velocità di separazione è stabilità dall'esponente di Lyapunov più grande.

Si definisce l'esponente di Lyapunov associato ad un punto $x_{0}$ e ad una direzione $v$ come la velocità di separazione media di un punto $x$ vicino a $x_{0}$ tale che il vettore congiungente $x-x_{0}$ ha la direzione $v$. Dopo $n$ iterazioni la distanza tra $F^{n}(x)$ e $F^{n}(x_{0})$ che originariamente era $\left\|x-x_{0}\right\|$ è diventata circa $\left\|DF^{n}(x_{0})(x-x_{0})\right\|$, il tasso di crescita medio per ogni passo è dato da:

$\left({\frac {\left\|DF^{n}(x_{0})(x-x_{0})\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|^{\frac {1}{n}}$

dove $v$ è il vettore unitario di direzione $(x-x_{0})$. Se si considera il logaritmo:

$L=\log \left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|^{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}\log \left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|$

si può dire che il sistema si è evoluto in modo che la distanza iniziale $\delta _{0}$ è diventata $\delta _{0}e^{nL}$. Tuttavia si è fatta la media su un numero finito di passi, se si considera l'intera traiettoria si può definire l'esponente di Lyapunov di $x_{0}$ nella direzione $v$ come il tasso di crescita esponenziale medio nel seguente modo:

$\lambda (x_{0},v):=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|$

Da questa definizione si deduce che se il vettore congiungente ha la direzione $v$ allora la distanza $\left\|x-x_{0}\right\|$ si evolve come $Ce^{n\lambda (x_{0},v)}$ per $n$ grandi.

Per valutare quanto il valore di $\lambda$ possa variare se si considerano direzioni diverse, si dimostra che $\lambda$ può assumere al più un numero di valori pari alla dimensione $m$ dello spazio e che per quasi tutti i punti dello spazio assume lo stesso valore: il valore massimo.

Esempio

Nel seguito si mostra un caso in cui l'approssimazione lineare di $F$ rimane sempre la stessa. Si consideri il sistema dinamico discreto dato dall'iterazione della mappa $F(x):=Ax$ con $A$ matrice $m\times m$ dotata di $m$ autovalori $0\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq ...\leq \lambda _{m}$. Al passo n-esimo si ha che $F^{n}(x)-F^{n}(x_{0})\sim A^{n}(x-x_{0})$, quindi la distanza iniziale $\delta _{0}=\left\|x-x_{0}\right\|$ è diventata $\left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|$. Se il vettore $(x-x_{0})$ è nell'autospazio associato a $\lambda _{k}$ allora:

$\left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|=|\lambda _{k}|^{n}\left\|x-x_{0}\right\|=\delta _{0}e^{n\log |\lambda _{k}|}$

Se il vettore $(x-x_{0})$ ha una componente non nulla nell'autospazio associato a $\lambda _{m}$ (che è il massimo degli autovalori per come li abbiamo numerati), allora si può esprimere $(x-x_{0})$ come combinazione lineare:

$x-x_{0}=a_{1}v_{1}+...+a_{m}v_{m}$ con $a_{n}\neq 0$

dove $v_{1},...,v_{m}$ è una base ortonormale di autovettori (si assume per semplicità che esista tale base). Dunque:

$A^{n}(x-x_{0})=\lambda _{1}^{n}a_{1}v_{1}+\lambda _{2}^{n}a_{2}v_{2}+...+\lambda _{m}^{n}a_{m}v_{m}=$

$=\lambda _{m}^{n}\left(\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{m}}}\right)^{n}a_{1}v_{1}+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{m}}}\right)^{n}a_{2}v_{2}+...+\left({\frac {\lambda _{m-1}}{\lambda _{m}}}\right)^{n}a_{m-1}v_{m-1}+a_{m}v_{m}\right)$

Per avere un'idea di quale è il fattore medio di espansione per ogni passo si può calcolare il limite della media geometrica:

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}}\right)^{1\left/n\right.}$

che dai calcoli precedenti risulta del resto uguale a $\left|\lambda _{m}\right|$. Quindi la distanza $\left\|x-x_{0}\right\|$ evolverà per tempi lunghi come $C|\lambda _{m}|^{n}=Ce^{n\log |\lambda _{m}|}$. Questo significa che tutti i punti $x$ vicini a $x_{0}$ per i quali il vettore congiungente $(x-x_{0})$ ha una componente non nulla lungo $v_{n}$ hanno una velocità asintotica media di separazione (o avvicinamento) da $x_{0}$ determinata unicamente dal massimo degli autovalori di $A$.

Il calcolo dell'esponente di Lyapunov sulla base delle relazioni stabilite sopra fornisce infatti:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left\|A^{n}{\frac {x-x_{0}}{\left\|x-x_{0}\right\|}}\right\|=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|-{\frac {1}{n}}\log \left\|x-x_{0}\right\|=\log |\lambda _{m}|$

Con un discorso analogo si può dimostrare che se il vettore congiungente $x-x_{0}$ è ortogonale all'autospazio relativo all'autovalore massimo ma ha una componente non nulla rispetto al secondo autovalore più grande $\lambda _{m-1}$ allora l'esponente di Lyapunov associato a tale direzione è $\log |\lambda _{m-1}|$. Più in generale, l'esponente di Lyapunov in $x_{0}$ lungo la direzione $v$ è dato dal logaritmo del massimo autovalore $\lambda _{k}$ associato ad un autovettore rispetto al quale $v$ non è ortogonale.

Per visualizzare intuitivamente il concetto si può considerare una sfera infinitesima attorno al punto $p$ di un'orbita: questa dopo ogni iterazione della mappa $F$ viene deformata in un ellissoide ottenuto come immagine della sfera mediante l'applicazione lineare data dalla matrice jacobiana $D(f^{n})(p)$. L'ellissoide fornisce informazioni sul comportamento locale della mappa in particolare sulle direzioni in cui questa contrae o espande maggiormente lo spazio. Di questo ellissoide si possono individuare gli assi principali che corrispondono alle direzioni di contrazione o espansione. Tuttavia, ad ogni iterazione la trasformazione lineare è diversa, e così anche gli autovettori e gli autovalori e quindi gli assi e la forma dell'ellissoide. Il teorema di Oseledec assicura che per quasi ogni punto l'azione delle trasformazioni lineari date dai differenziali $DF(x_{n})$, calcolati lungo la traiettoria, in media tende asintoticamente ad essere equivalente all'azione di una stessa matrice con $m$ autovalori i cui logaritmi danno gli esponenti di Lyapunov e i cui autovettori danno le direzioni di espansione e contrazione corrispondenti agli assi di un ellissoide "medio".

Bibliografia

• (EN) R. Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Cambridge: Springer-Verlag, 1988.
• (EN) J. Kaplan, Chaotic behavior of multidimensional difference equations, in Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, New York, Springer, 1979, ISBN 3-540-09518-7.
• (EN) Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. and Vattay G.Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhagen 2005 – textbook about chaos available under Free Documentation License.

Voci correlate

• orbita (matematica)
• Sistema dinamico
• Tempo di Lyapunov
• Teoria del caos