Legge di Ohm

In fisica, la legge di Ohm, il cui nome è dovuto al fisico tedesco Georg Simon Ohm, esprime la legge costitutiva di proporzionalità diretta tra la differenza di potenziale elettrico applicata ai capi di un conduttore e l'intensità della corrente elettrica che lo attraversa. La costante di proporzionalità è detta resistenza elettrica.

Un'altra relazione, detta anche impropriamente seconda legge di Ohm, permette di calcolare la resistenza di un materiale a partire da resistività, lunghezza e sezione.

Descrizione

Prima legge di Ohm

Denotando con $V$ la differenza di potenziale elettrico ai capi di un conduttore elettrico e con $I$ l'intensità di corrente elettrica che lo attraversa, la legge di Ohm ha la formula:

$I={\frac {V}{R}}$

Formule inverse:

$R={\frac {V}{I}}$

$V=RI$

dove $R$ è la resistenza elettrica caratteristica del conduttore. Si tratta di una costante, indipendente dall'entità della corrente. Tuttavia questa appena espressa può essere identificata come la legge di Ohm solo se la si vuole esprimere in maniera generale, limitandosi ai materiali conduttori piuttosto che ai dispositivi conduttori. Essa infatti è semplicemente la definizione di resistenza e si applica a tutti i dispositivi conduttori, che essi obbediscano alla legge di Ohm oppure no.

Seconda legge di Ohm

La resistenza dipende da alcune caratteristiche fisiche e geometriche del conduttore, come la resistività $\rho$, la lunghezza $l$ e la sezione $S$. L'esempio più semplice è quello in cui il conduttore è composto di un solo materiale, ha sezione uniforme e il flusso di corrente al suo interno è anch'esso uniforme. In questo caso, la resistività è legata a $R$ dalla relazione:

$R=\rho {\frac {l}{S}}$

Terza legge di Ohm

La corrente è composta da un moto ordinato di elettroni, guidati da un campo elettrico, che possiedono una certa energia cinetica. Quando il flusso di cariche attraversa un resistore l'energia cinetica posseduta dalle cariche viene ceduta, in parte o totalmente, al materiale. Questo fenomeno è detto effetto Joule, e la potenza trasferita al materiale è data da:

$P=V\cdot I=R\cdot I^{2}$

Essa risulta proporzionale al quadrato della corrente elettrica, e provoca il riscaldamento più o meno consistente del conduttore. Conoscendo la capacità termica e la resistenza termica del materiale si può stabilire il conseguente aumento della temperatura.

A livello locale, la relazione di Ohm assume la forma:

$J=\sigma E$

valida nei punti del dominio in cui il campo elettrico $E$, la densità di corrente $J$ e la conducibilità elettrica $\sigma$ sono funzioni continue (nei punti di discontinuità si può soltanto formulare la legge a livello globale). L'utilizzo della densità di corrente fornisce la potenza $dP$ dissipata per effetto Joule nell'unità di volume:

$dP=J\cdot E$

La legge di Ohm è valida per tutti i materiali conduttori. In particolare, gli elementi elettrici che sfruttano la legge di Ohm sono detti resistori (o resistenze) ideali o ohmici.

Moto degli elettroni

Solitamente si utilizza un modello microscopico secondo cui gli elettroni sono diffusi nel conduttore elettrico come se fossero un gas. Essi si muovono liberamente, e quando viene applicato un campo subiscono un ulteriore moto collettivo ordinato. La velocità $v$ di tale moto collettivo, detta velocità di deriva, è vari ordini di grandezza minore della velocità di agitazione termica dei singoli elettroni, ed è legata alla densità di corrente dall'equazione:

$\operatorname {d} I=nqv\operatorname {d} S$

dove $n$ è il numero di portatori di carica per unità di volume, $S$ è l'area della sezione del conduttore e $q$ è la carica di ciascun portatore di carica (elettrone).

Scrivendo la corrente elettrica come il flusso costante di carica elettrica attraverso la sezione $S$ di conduttore della sua densità di corrente $\mathbf {J}$, si ha:

$I=\int _{S}\mathbf {J} \cdot \operatorname {d} \mathbf {A} =\int _{S}\sigma \mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {A}$

dove $\sigma$ è la conduttività elettrica e $\mathbf {A}$ il vettore area della sezione $S$.

Se si considera un caso particolarmente semplice, in cui si suppone $\sigma$ costante, $\mathbf {E}$ perpendicolare a $S$ e di modulo uniforme, si ottiene:

$I=\sigma |\mathbf {E} |\int _{S}\operatorname {d} |\mathbf {A} |=\sigma |\mathbf {E} |S$

Detta $d$ la lunghezza del conduttore, si può sfruttare il fatto che $V=d|\mathbf {E} |$, per cui:

$I=\sigma |\mathbf {E} |S=\sigma {\frac {V}{d}}{S}$

In questo modo si può definire la conduttanza elettrica $G$ come:

$G={\frac {I}{V}}=\sigma {\frac {S}{d}}$

e la resistenza $R$ come l'inverso della conduttanza:

${\frac {1}{G}}=R={\frac {d}{\sigma S}}=\rho {\frac {d}{S}}$

dove $\rho =1/\sigma$ è la resistività elettrica.

Corrente alternata

La legge di Ohm può essere applicata al caso di corrente alternata, cioè un campo elettrico variabile nel tempo con un andamento sinusoidale. Per i circuiti in corrente alternata tensione e corrente sono date da:

$\mathbf {V} =V_{0}\sin(\omega t+\phi )\qquad \mathbf {I} =I_{0}\sin(\omega t+\phi )$

dove $V_{0}$ e $I_{0}$ sono le ampiezze, $\omega$ è la pulsazione e $\phi$ la fase.

Quando tensione e corrente sono funzioni del tempo, come in questo caso, si deve tenere conto degli effetti capacitivi ed induttivi del materiale o del circuito, e per descrivere l'energia scambiata con il materiale si ricorre all'utilizzo di un numero complesso $\mathbf {Z}$, detto impedenza, tale che si abbia:

$\mathbf {V} =\mathbf {Z} \cdot \mathbf {I}$

dove le quantità in gioco sono scalari in $\mathbb {C}$.

L'impedenza può allora essere scritta come:

$\mathbf {Z} =R+iX=Z_{0}e^{i\arg(\mathbf {Z} )}=Z_{0}\cos(\arg(\mathbf {Z} ))+iZ_{0}\sin(\arg(\mathbf {Z} ))\qquad Z_{0}=|\mathbf {Z} |$

e la sua parte reale $R$ è la resistenza, mentre la parte immaginaria $X$ è detta reattanza:

$R=Z_{0}\cos(\arg(\mathbf {Z} ))\qquad X=Z_{0}\sin(\arg(\mathbf {Z} ))$

L'argomento $\arg(\mathbf {Z} )$ quantifica lo sfasamento tra campo elettrico e corrente:

$\arg(\mathbf {Z} )=\tan ^{-1}\left({\frac {X}{R}}\right)\qquad Z_{0}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}$

La reattanza tiene conto dei fenomeni di accumulo di energia elettromagnetica all'interno del materiale, che non si verificano in regime stazionario. La legge di Ohm estesa al caso non stazionario descrive quindi il comportamento di un componente circuitale passivo che, oltre a ostacolare il passaggio di corrente, provoca uno sfasamento tra corrente e tensione (nel caso stazionario non vi è sfasamento e l'equazione di Ohm contiene solo numeri reali).

I componenti circuitali passivi fondamentali sono, oltre alla resistenza, la capacità $C$ e l'induttanza $L$. La capacità sfasa la corrente di $-\pi /2$ rispetto al campo, l'induttanza di $+\pi /2$. Denotando con il pedice la rispettiva impedenza, essa vale:

$\mathbf {Z} _{R}=R\qquad \mathbf {Z} _{L}=j\omega L\qquad \mathbf {Z} _{C}={\frac {1}{j\omega C}}$

e la legge di Ohm - applicata rispettivamente a resistenza, induttanza e capacità - ha la forma:

$\mathbf {V} _{R}=R\;\mathbf {I} \qquad \mathbf {V} _{L}=j\omega L\;\mathbf {I} \qquad \mathbf {V} _{C}={\frac {1}{j\omega C}}\;\mathbf {I}$

Per i circuiti in corrente alternata si utilizza spesso questo tipo di formalismo. Anche altre leggi, come i teoremi di Norton, Thévenin e Millman, hanno analoghe forme per circuiti in corrente alternata.

Bibliografia

• Enrico Turchetti, Romana Fasi, Elementi di Fisica, 1ª ed., Zanichelli, 1998, ISBN 88-08-09755-2.
• (EN) Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
• (EN) Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
• (EN) Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light. Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6. See Chapter 8, and especially pp. 255–259 for coefficients of potential.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Carica elettrica
• Conduttore elettrico
• Corrente alternata
• Corrente elettrica
• Differenza di potenziale elettrico
• Effetto Joule
• Forza elettromotrice
• Impedenza
• Resistività
• Resistenza elettrica

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• en Applet sulla legge di Ohm
• Approfondimenti sulla legge di Ohm, su ilriparatore.it.
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