Legge di Ohm

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La legge di Ohm stabilisce che la corrente in un conduttore tra due punti è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale tra i due punti stessi. La costante di proporzionalità è detta resistenza elettrica.

dove I è la corrente attraverso il conduttore, V è la differenza di potenziale ed R è la resistenza. Nel sistema internazionale la corrente si misura in ampere, la differenza di potenziale in volt e la resistenza in ohm. Più specificatamente, la legge di Ohm stabilisce che la R in questa relazione è costante, cioè indipendente dalla corrente.

La legge di Ohm è una legge empirica che descrive accuratamente la conduttività della maggior parte dei materiali conduttori al variare della corrente per molti ordini di grandezza. Vi sono alcuni materiali che non obbediscono alla legge di Ohm e vengono chiamati non-ohmici.

Il nome della legge è dovuto al fisico tedesco Georg Ohm, che, in un trattato pubblicato nel 1827, descrive la misura della corrente e della differenza di potenziale attraverso dei semplici circuiti con fili di diversa lunghezza. La formulazione originale è più complessa della forma attuale.

V, I, ed R, i parametri della legge di Ohm

Esiste una espressione locale della legge di Ohm:

Le grandezze vettoriali che intervengono localmente sono J la densità di corrente, E il campo elettrico nello stesso punto e una grandezza che dipende dal materiale detta resistività. Questa formulazione è dovuta a Gustav Kirchhoff[1]

La legge di Joule ha un carattere più generale della legge di Ohm.

Gli elementi circuitali che utilizzano la legge di Ohm vengono chiamati resistori.

Notizie storiche[modifica | modifica wikitesto]

Nel gennaio 1781, prima del lavoro di Georg Ohm, Henry Cavendish fece degli esperimenti con una bottiglia di Leida e dei tubi di vetro di vari diametri e lunghezza riempiti con soluzioni saline. Egli misurò la corrente annotando lo shock elettrico che percepiva quando chiudeva il circuito con il suo corpo. Cavendish scrisse che la velocità (corrente) era proporzionale al grado di elettrificazione (differenza di potenziale), ma scrisse tali annotazioni senza comunicarlo alla comunità scientifica del suo tempo[2] il suo risultato rimase sconosciuto fino a quando Maxwell lo pubblicò nel 1879[3]. Nel 1814 F. Ronalds usando una pila a secco trovò la legge di proporzionalità tra corrente e differenza di potenziale.

Qualche anno dopo, tra il 1825 e il 1826, Ohm fece i suoi esperimenti pubblicando i risultati in un libro [4]. All'epoca era nota la legge di Fourier sulla conduzione termica ed a tale legge si ispirò chiaramente Ohm. Per i suoi esperimenti, utilizzò inizialmente una pila di Volta, ma in seguito usò una termocoppia che forniva una differenza di potenziale più stabile e una resistenza interna costante. Per misurare la corrente usò un galvanometro. La differenza di potenziale della termocoppia era derivata indirettamente dalla misura della differenza di temperatura tra gli estremi della termocoppia. Il circuito era chiuso da fili di vari materiali di diversa lunghezza e sezione.

In termini moderni potremmo mostrare che l'esperimento eseguito è schematizzabile come la figura qui sotto.

Semplice circuito con generatore e resistenza interna

Potremmo scrivere il risultato in notazione moderna come:

dove è la corrente misurata dal galvanometro, è la forza elettromotrice della termocoppia a circuito aperto ed è la resistenza da misurare, è la resistenza interna della termocoppia (per Ohm era una costante necessaria per giustificare i risultati).

La legge di Ohm fu probabilmente una delle più importanti descrizioni quantitative della fisica dell'elettricità, attualmente ci appare banale, ma quando Ohm pubblicò il suo risultato fu criticato dalla società scientifica del tempo tanto da essere definita un rete di fantasie[5] e il ministro tedesco dell'istruzione disse che "un professore che predicava simili eresie non era degno di insegnare scienza"[6]. L'approccio alla scienza da parte della filosofia in Germania, in quegli anni, era che non vi era necessità di fare esperimenti per capire la natura, in quanto la natura è perfettamente ordinata, quindi la verità scientifica può essere dedotta da ragionamenti[7]. Solo 15 anni dopo la legge di Ohm fu largamente accettata. In ogni caso l'importanza di Ohm fu riconosciuta prima della sua morte.

L'elettrone fu scoperto da J. J. Thomson solo nel 1897, e si capì rapidamente che era il portatore di carica nei conduttori. Nel 1900 fu infatti proposto il modello di Drude che utilizzando la fisica classica spiegava microscopicamente la legge di Ohm. Gli elettroni seguendo tale modello a causa delle collisioni con il reticolo cristallino, che causano una forza viscosa, si muovono con una velocità proporzionale al campo elettrico (la velocità di deriva). Solo nel 1927 Arnold Sommerfeld considerò la natura quantistica degli elettroni per elaborare un nuovo modello che prende il suo nome. Tale modello analogamente a quello di Drude considera gli elettroni nei metalli nei metalli delle particelle libere ma soggette alla statistica di Fermi-Dirac.

Limiti della legge di Ohm[modifica | modifica wikitesto]

La legge di Ohm è una legge empirica che viene generalizzata nella maggior parte dei materiali. È una legge meno generale delle equazioni di Maxwell e in alcuni materiali non vale. Nei metalli la legge ha un carattere universale, mentre negli isolanti vale solo per campi elettrici locali deboli. Infatti negli isolanti la velocità di deriva degli elettroni può raggiungere valori molto elevati e in questo caso si ha la rottura dielettrica.

La legge di Ohm è stata osservata a diverse scale di dimensioni. All'inizio del 2000 si credeva che la legge di Ohm dovesse perdere la sua validità per dimensioni paragonabili alla spaziatura atomica, ma nel 2012 si è dimostrato sperimentalmente che una striscia di Silicio larga quattro atomi e di spessore un atomo ancora rispetta la legge di Ohm[8].

Legge di Ohm in forma microscopica[modifica | modifica wikitesto]

Nei conduttori le cariche libere si muovono come in un fluido molto viscoso. Come sappiamo dalla meccanica del punto se la viscosità è molto elevata il sistema raggiunge rapidamente la condizione di velocità di deriva, in quanto la fase di accelerazione del moto avviene in un tempo trascurabile. Da un punto di vista della dinamica del punto materiale, a regime, se è il campo elettrico presente localmente, è la carica dei portatori di carica (normalmente gli elettroni), la forza di trascinamento viene bilanciata dalla forza di attrito viscoso  :

Definendo con la velocità di deriva, la massa dei portatori di carica e è il tempo medio tra gli urti. Dalla definizione di densità di corrente elettrica si ha che

Quindi :

da cui risulta la legge di Ohm in forma microscopica:

Dove viene detta resistività elettrica che dipende dalle proprietà microscopiche del materiale.

L'inverso della resistività elettrica viene chiamata conduttività elettrica: Nel caso di conduttori in cui siano presenti portatori di carica di diversa natura come i semiconduttori, è più semplice usare la conduttività per descrivere i fenomeni di conduzione.

Legge di Ohm in forma macroscopica[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un cilindro conduttore di lunghezza , sezione normale e resistività . Se applichiamo una d.d.p. tra gli estremi:

Inoltre:

Sostituendo tale quantità nella espressione microscopica (1), proiettando nella direzione della velocità di deriva, si ha che:

Da cui se definisco con:

,

la resistenza del conduttore, posso riscrivere la (2) come:

Che è la legge di Ohm in forma macroscopica. Se il conduttore non è a sezione costante ed al limite la resistività varia con la posizione la generalizzazione della eq.(3) porta a:

Spesso invece della resistenza elettrica si utilizza il suo inverso la conduttanza elettrica , in tale caso la legge di Ohm:

Nel caso di un filo a sezione costante:

Effetto della temperatura[modifica | modifica wikitesto]

La resistività elettrica nei metalli varia approssimativamente in maniera lineare con la temperatura secondo la legge:

Con detto coefficiente di temperatura, la resistività alla temperatura di riferimento (comunemente ).

Resistività dell'Alluminio in funzione della temperatura, in tondo i dati sperimentali[9] e la linea è il fit lineare
Tipo Sostanza
Conduttore Ag
Conduttore Cu
Conduttore Al
Conduttore Fe
Conduttore NiCr
Semiconduttore Si
Isolante Legno
Isolante Vetro
Isolante Quarzo
Isolante Teflon

In tabella sono date le resistività ed i coefficienti di temperatura di alcune sostanze a temperatura ambiente. Volutamente sono state messe nella tabella dei metalli, tutti con resistività molto bassa, ed altri materiali. La figura mostra la resistività dell'Alluminio che in un grande intervallo di temperatura ha una dipendenza lineare con la temperatura, in genere, per altri metalli, la linearità vale in un intervallo più limitato di temperatura. La distinzione tra conduttori ed isolanti diventa quantitativa con la definizione di resistività elettrica come appare chiaro dalla tabella. Mentre la legge di Ohm, vale senza limitazione nei conduttori, purché la temperatura sia mantenuta costante, nelle altre sostanze la validità è limitata al fatto che il campo elettrico localmente sia molto inferiore alla rigidità dielettrica del mezzo.

Resistenze in parallelo e in serie[modifica | modifica wikitesto]

n Resistenze in parallelo

Immaginiamo di avere resistenze ciascuna di valore poste in parallelo come mostrato in figura. Definiamo come la corrente che scorre in ciascun resistore. La d.d.p. ai capi di ogni resistenza sarà eguale, mentre la corrente totale è data dalla somma delle correnti che scorrono nei vari resistori, a causa della prima legge di Kirchhoff:

Ma dalla legge di Ohm applicata ad ogni resistore:

Quindi il parallelo di resistori si comporta come una unica resistenza equivalente di valore eguale a:

n Resistenze in serie

Immaginiamo di avere resistenze in serie di valore come mostrato in figura. Definiamo con la d.d.p ai capi di ogni resistenza. La d.d.p. totale è pari alla d.d.p. ai capi del sistema sarà la somma delle d.d.p. dei singoli elementi. La corrente che scorre nei vari resistori è eguale a causa di quello che abbiamo visto nelle condizioni stazionarie per i fili percorsi da corrente. Da cui segue che:

Quindi la serie di resistenze equivale ad una resistenza equivalente pari alla somma dei singoli elementi:

Corrente alternata[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Corrente alternata.

La legge di Ohm può essere applicata al caso di corrente alternata, cioè un campo elettrico variabile nel tempo con un andamento sinusoidale. Per i circuiti in corrente alternata tensione e corrente sono date da:

dove e sono le ampiezze, è la pulsazione e la fase.

Quando tensione e corrente sono funzioni del tempo, come in questo caso, si deve tenere conto degli effetti capacitivi ed induttivi del materiale o del circuito, e per descrivere l'energia scambiata con il materiale si ricorre all'utilizzo di un numero complesso , detto impedenza, tale che si abbia:

dove le quantità in gioco sono scalari in .

L'impedenza può allora essere scritta come:

e la sua parte reale è la resistenza, mentre la parte immaginaria è detta reattanza:

L'argomento quantifica lo sfasamento tra campo elettrico e corrente:

La reattanza tiene conto dei fenomeni di accumulo di energia elettromagnetica all'interno del materiale, che non si verificano in regime stazionario. La legge di Ohm estesa al caso non stazionario descrive quindi il comportamento di un componente circuitale passivo che, oltre a ostacolare il passaggio di corrente, provoca uno sfasamento tra corrente e tensione (nel caso stazionario non vi è sfasamento e l'equazione di Ohm contiene solo numeri reali).

I componenti circuitali passivi fondamentali sono, oltre alla resistenza, la capacità e l'induttanza . La capacità sfasa la corrente di rispetto al campo, l'induttanza di . Denotando con il pedice la rispettiva impedenza, essa vale:

e la legge di Ohm - applicata rispettivamente a resistenza, induttanza e capacità - ha la forma:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, p.70, Oxford University Press, 2000 ISBN 0-19-850594-9.
  2. ^ J. A. Fleming (1911), voce Electricity in vol.9 Encyclopædia Britannica. 9 (11th ed.) Cambridge University Press. p. 182
  3. ^ Sanford P. Bordeau (1982) Volts to Hertz...the Rise of Electricity. Burgess Publishing Company, Minneapolis, MN. pp.86–107, ISBN 0-8087-4908-0
  4. ^ G. S. Ohm, Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet, ed. T. H. Riemann, (1827), http://www.ohm-hochschule.de/bib/textarchiv/Ohm.Die_galvanische_Kette.pdf Archiviato il 26 marzo 2009 in Internet Archive.
  5. ^ Davies, B, "A web of naked fancies?", Physics Education 15 57–61, Institute of Physics, Issue 1, Jan 1980 [1]
  6. ^ Hart, IB, Makers of Science, London, Oxford University Press, 1923. p. 243. [2]
  7. ^ Herbert Schnädelbach, Philosophy in Germany 1831–1933, pages 78-79, Cambridge University Press, 1984 ISBN 0521296463
  8. ^ B. Weber et al., Ohm's Law Survives to the Atomic Scale, Science, 235, 64-67 (2012)
  9. ^ https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19680012399_1968012399.pdf

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Enrico Turchetti, Romana Fasi, Elementi di Fisica, 1ª ed., Zanichelli, 1998, ISBN 88-08-09755-2.
  • (EN) Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
  • (EN) Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
  • (EN) Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light. Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6. See Chapter 8, and especially pp. 255–259 for coefficients of potential.

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