Induttanza

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Rappresentazione del campo magnetico indotto dall'induttore sottoposto a corrente elettrica

L'induttanza è la proprietà dei circuiti elettrici tale per cui la corrente che li attraversa induce una forza elettromotrice che, per la legge di Lenz, si oppone alla variazione dell'intensità della corrente stessa. La grandezza fisica associata è indicata con il simbolo L in onore del fisico Heinrich Lenz e prende il nome di coefficiente di autoinduzione.

Il termine fu utilizzato ufficialmente per la prima volta da Heaviside nel febbraio 1886.[1]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una corrente elettrica i che scorre in un circuito elettrico produce un campo magnetico nello spazio circostante: se la corrente varia nel tempo il flusso magnetico ΦB del campo concatenato al circuito risulta variabile, determinando entro il circuito una f.e.m. indotta che si oppone alla variazione del flusso. Il coefficiente di autoinduzione L del circuito è il rapporto tra il flusso del campo magnetico concatenato e la corrente, che nel caso semplice di una spira è dato da:

L= \frac{\Phi_B}{i}

L'unità di misura dell'induttanza è detta henry: 1 H = 1 Wb /1 A, in onore di Joseph Henry. In un induttore di 1 henry, quindi, una variazione di corrente di 1 ampere al secondo genera una forza elettromotrice di 1 volt.

Proprietà dell'induttanza[modifica | modifica sorgente]

Grafico rappresentante i valori di corrente (linea rossa) e tensione (linea blu) ai capi dell'induttanza sottoposta al percorso di tensione elettrica (linea verde)

L'equazione che definisce l'induttanza può essere riscritta in questo modo:

\Phi_B= Li

Derivando entrambi i membri rispetto al tempo:

\frac{d\Phi_B}{dt} = L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dt}

In molti casi fisici l'induttanza può essere considerata costante rispetto al tempo (o tempo-invariante), per cui:

\frac{d\Phi_B}{dt} = L \frac{di}{dt}

Dalla legge di Faraday si ha:

-\frac{d\Phi_B}{dt} = \mathcal{E} = v

dove \mathcal{E} è la forza elettromotrice (f.e.m.) e v è il potenziale indotto ai morsetti del circuito in questione.

Combinando le equazioni precedenti si ha:

-L\frac{di(t)}{dt} = \mathcal{E} = v(t)

da cui si evince che l'induttanza L di un componente attraversato da corrente variabile si può definire operativamente come l'opposto del rapporto tra la f.e.m autoindotta e generata ai morsetti del componente e la derivata della corrente di(t)/dt che lo attraversa.

Legge di Lenz

\frac{d\Phi_B}{dt} = -\mathcal{E} = v

L'origine del segno meno è una conseguenza della legge di Lenz che applicata a un induttore afferma in sostanza che la f.e.m autoindotta ai capi di un componente si oppone alla variazione di corrente che lo attraversa. Per questo motivo l'induttanza è definita positiva.

L'energia immagazzinata in un solenoide può essere espressa per mezzo della sua induttanza caratteristica L e della corrente i che scorre nelle sue spire.

La relazione è

 W = \frac{1}{2}L i^2

dove W è l'energia immagazzinata.

La legge di Ohm esprime la relazione fra la tensione e una corrente stazionaria, mentre quella di Faraday il legame fra tensione e una corrente elettrica variabile.

Cenni sull'induttore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Induttore.

In termini circuitali, l'induttore è un componente passivo in cui l'aspetto induttivo prevale su quello capacitivo e su quello resistivo. Esso è generalmente costituito dall'avvolgimento di un filo conduttore intorno ad un nucleo di materiale magnetico (ferrite). La relazione costitutiva di un induttore di induttanza L è la stessa riportata sopra. Valori tipici di induttanza vanno dai nanohenry (nH) ai millihenry (mH).

Se un'impedenza di tipo puramente induttivo viene attraversata da una corrente sinusoidale del tipo:

i(t) = I_M \cos(\omega t + \Phi_B) ,

dove I_M è il valore di corrente massimo, \omega è la pulsazione angolare della sinusoide e \Phi_B è la fase della corrente, la tensione che comparirà sul ramo dell'impedenza sarà:

v(t)= L {di(t) \over dt} = - L\omega I_M \mathrm{\,sen}(\omega t + \Phi_B) = L\omega I_M \cos(\omega t + \Phi_B + {\pi \over 2}) .

Nel ramo di un'impedenza completamente induttiva, quindi, le sinusoidi di tensione e corrente risultano sfasate di 90° e, in particolare, la tensione è in anticipo sulla corrente di 90°.

Nel dominio dei fasori le espressioni di corrente e tensione diventano:

\mathbf{I}= I_M e^{j \Phi_B}

e

 \mathbf{V} = \omega L  I_M  e^{j \Phi_B}  e^{j\pi \over 2} = j \omega L I_M e^{j \Phi_B} .

Dalla legge di Ohm delle impedenze:

 \mathbf{Z}= {\mathbf{V} \over \mathbf{I}}

si ha che l'impedenza di un induttore puro è:

 \mathbf{Z} = j \omega L ,

dove ω è la pulsazione complessa espressa in radianti al secondo (pari alla frequenza in hertz moltiplicata per 2π), e j è l'unità immaginaria.

Data la relazione costitutiva dell'induttore, la corrente in esso è una funzione continua, mentre la tensione non lo è necessariamente.

In condizioni statiche (corrente continua), l'induttore ideale è equivalente ad un corto circuito.

Data la necessità di inserire un nucleo di ferrite per ottenere valori apprezzabili di induttanza, l'induttore è il componente meno facile da integrare, e quindi viene spesso simulato tramite opportuni componenti attivi (convertitore d'impedenza generalizzato o GIC). A frequenze molto elevate, dell'ordine di centinaia di megahertz, l'impedenza mostrata dall'induttore diventa accettabile anche in presenza di basse induttanze, ed è quindi possibile realizzare induttori senza nucleo (induttore in aria).

Circuito RL[modifica | modifica sorgente]

Circuito RL in evoluzione libera
Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL in evoluzione libera

Si chiama circuito RL in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un induttore percorso da corrente. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di tensione o di corrente.

Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente. Al tempo t0 = 0 la corrente ai capi di L è iL(0) ≠ 0, questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la legge di Kirchhoff per le intensità di corrente, l'equazione del circuito è:

i(t) + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \frac{v(t)}{R} + i_L(t) = 0

dove i(t) è la corrente elettrica circolante. Ricordando che la relazione caratteristica dell'induttore è:

v(t) = L \cdot \frac{d i_L(t)}{dt}

la legge di Kirchhoff diventa un'equazione differenziale omogenea del primo ordine:

\frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{R}{L} i_L(t) = 0 {.}

Per la teoria delle equazioni differenziali, la soluzione è:

i_L(t) = i_L(0) \cdot e^{-t R/L}

e di conseguenza la tensione è

v(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot i_L(0) \cdot e^{-t R/L}

Al rapporto \frac{L}{R} = \tau \, \mathrm{[s]} viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la quantità di corrente contenuta nell'induttore tramite la relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza R secondo la soluzione appena trovata: la corrente tende esponenzialmente a zero per t → ∞. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

i(\tau) = \frac{1}{e} {.}

Circuito RLC[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Circuito RLC.

In generale, si dice RLC un circuito che contenga solo resistenze (R), induttori (L) e condensatori (C). Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga anche altri elementi passivi, ma nessun elemento attivo.

I circuiti RLC sono sistemi lineari, per lo più stazionari (ma non necessariamente). In particolare, ciò significa che un circuito RLC non può creare frequenze dal nulla: può eventualmente sopprimerle. Infatti, la nascita di nuove frequenze (distorsione) avviene soltanto negli elementi attivi a semiconduttore e negli elementi non lineari, come diodi e transistor.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Heavyside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. See reprint

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Frederick W. Grover, Inductance Calculations, Dover Publications, New York, 1952.
  • Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall, 1998. ISBN 0-13-805326-X.
  • Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd ed., Wiley, 1986. ISBN 0-471-81186-6.
  • Hughes, Edward., Electrical & Electronic Technology (8th ed.), Prentice Hall, 2002. ISBN 0-582-40519-X.
  • Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
  • Heaviside O., Electrical Papers. Vol.1. – L.; N.Y.: Macmillan, 1892, p. 429-560.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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