Teorema di Norton

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Nell'ambito dei circuiti elettrici, il teorema di Norton afferma che un qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto da due nodi A-B è equivalente a un generatore reale di corrente costituito da un generatore ideale di corrente in parallelo con una resistenza: l'equivalenza vale limitatamente alla tensione e alla corrente in corrispondenza dei nodi A-B.

Il teorema fu pubblicato nel 1926 da Edward Lawry Norton, ingegnere dei Bell Labs.

È il duale del teorema di Thévenin.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Generatore di corrente equivalente

Un circuito lineare tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale di corrente la cui corrente impressa  J_{eq} è pari alla corrente di cortocircuito ai nodi A-B ossia alla corrente che vi circola quando gli stessi vengano cortocircuitati e la cui conduttanza equivalente  G_{eq} è pari alla conduttanza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B quando vengano annullati tutti i suoi generatori tramite la sostituzione dei generatori di tensione con cortocircuiti e dei generatori di corrente con circuiti aperti.

La conduttanza è data dal reciproco della resistenza: G = {1 \over R}.

La conduttanza equivalente R_{e} può anche essere ottenuta dalla relazione

  •  G_{e}= {J_{eq}\over E_0}

nella quale E_0 rappresenta la tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza dei nodi A-B quando gli stessi vengano aperti.

Semplice dimostrazione del teorema di Norton[modifica | modifica wikitesto]

Dualità Thévenin-Norton: a sinistra è riportato il circuito equivalente di Thévenin, a destra quello di Norton.

Il teorema di Norton può essere facilmente dimostrato facendo leva sul teorema di Thévenin di cui ne è il duale.

Il teorema di Thévenin afferma che la tensione V e la corrente I presenti ai nodi A-B del circuito sono legate dalla relazione

  • V=E_0-R_{eq}I

dove E_0 è la tensione che si manifesta a vuoto ai nodi A-B ossia quando il circuito venga aperto in corrispondenza degli stessi e dove R_{eq} è pari alla resistenza equivalente che si vede dai nodi A-B guardando dentro il circuito dopo aver annullato i generatori in esso presenti.

Se moltiplichiamo ambo i membri della relazione per G_{eq} otteniamo:

  • V G_{eq}=E_0 G_{eq} - R_{eq} G_{eq} I

Questa formula può essere interpretata come la somma di tre correnti:

  • J_G = V G_{eq}: corrente che circola nella conduttanza G_{eq} quando ai nodi A-B è presente la tensione V dovuta alla presenza del suo normale carico;
  • J_{eq} = E_0 G_{eq}: corrente che circola nella conduttanza G_{eq} quando ai nodi A-B il circuito sia stato aperto;
  • R_{eq} G_{eq} I = I: corrente di carico che circola in corrispondenza dei nodi A-B (R_{eq} G_{eq} = 1 essendo l'una il reciproco dell'altra).

Abbiamo quindi:

  • J_G = J_{eq} - I

dove J_{eq} è proprio quella del generatore di corrente dell'enunciato del teorema di Norton, I è la corrente di carico e J_G è la corrente V G_{eq} che circola nella conduttanza equivalente G_{eq} a causa della tensione V. Tale formula si traduce nel circuito di destra della figura sopra riportata (c.v.d.).

Teorema di Norton simbolico[modifica | modifica wikitesto]

Afferma che una rete simbolica tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale simbolico di corrente la cui corrente impressa simbolica \bar{ J_{eq}} è pari al fasore della corrente di cortocircuito  \bar{I_{cc}} e la cui ammettenza equivalente \dot{ Y_{eq}} è pari all'ammettenza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B, ovvero al rapporto tra la corrente di cortocircuito \bar{I_{cc}} e la tensione a vuoto  \bar{E_{0}} ai nodi A-B:

  •  \bar{J_{eq}}= \bar{I_{cc}}
  •  \dot{Y}_{eq}= \dot{Y}_i = { \bar{I_{cc}} \over \bar{E_0}}

L'ammettenza equivalente è quella risultante ai nodi A-B quando la rete è resa passiva, avendo annullato i suoi generatori ideali simbolici di tensione e di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).

Calcolo del circuito equivalente[modifica | modifica wikitesto]

Il circuito originale.
Calcolo della corrente equivalente di uscita.
Calcolo della resistenza.
Il circuito equivalente.

Si consideri il circuito in figura di cui si vuole determinare il circuito equivalente di Norton calcolandone la corrente di cortocircuito I_{cc} e la resistenza equivalente R_{eq}.

Per il calcolo della I_{cc} si procede nel seguente modo:

  1. si cortocircuitano i terminali di uscita;
  2. si calcola la corrente che attraversa il cortocircuito la quale sarà pari alla corrente equivalente I_{cc}.

Per il calcolo della R_{eq} si procede nel seguente modo:

  1. si annullano i generatore di tensione sostituendoli con dei cortocircuiti e quelli di corrente sostituendoli con un circuito aperto;
  2. si calcola la resistenza tra i terminali di uscita la quale sarà pari alla resistenza R_{eq}.

Il circuito equivalente sarà dunque composto da un generatore ideale di corrente I_{cc} in parallelo ad una resistenza R_{eq}, ai cui capi si trovano i terminali di uscita.

Nell'esempio riportato nelle figure a fianco, la corrente I_{cc} si calcola come segue:


I_\mathrm{tot} = {15 \mathrm{V} \over 2\,\mathrm{k}\Omega + (1\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega))} = 5.625 \mathrm{mA}

I_{cc} = {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega)} \cdot I_\mathrm{tot} = 3.75 \mathrm{mA}

La resistenza equivalente R_{eq} sarà:


R_{eq} = 1\,\mathrm{k}\Omega + (2\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega)) = 2\,\mathrm{k}\Omega

Il circuito equivalente di Norton sarà costituito da un generatore di corrente di 3.75 mA in parallelo a una resistenza di 2 kΩ.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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