Teorema di Thévenin

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Nell'ambito dei circuiti elettrici, il teorema di Thévenin afferma che qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto da due punti A-B è equivalente a un generatore reale di tensione costituito da un generatore ideale di tensione in serie ad un resistore: l'equivalenza vale limitatamente alla tensione e alla corrente in corrispondenza dei punti A-B.

Il teorema fu enunciato per primo dallo scienziato tedesco Hermann von Helmholtz (1821-1894) nel 1853[1] ma fu riscoperto nel 1883 dall'ingegnere francese Léon Charles Thévenin (1857-1926) da cui prende il nome[2][3].

Il teorema di Thévenin è il duale del teorema di Norton.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Generatore equivalente di tensione.

Un circuito lineare bipolare comunque complesso composto di generatori di tensione, generatori di corrente e resistenze si comporta ai terminali A-B come un generatore reale di tensione la cui f.e.m. E_{0} è pari alla tensione a vuoto in corrispondenza degli stessi terminali A-B e la cui resistenza interna R_i è pari alla resistenza equivalente R_{e} che il circuito presenta sempre in corrispondenza dei terminali A-B quando vengano annullati tutti i suoi generatori tramite la sostituzione dei generatori di tensione con cortocircuiti e dei generatori di corrente con circuiti aperti.

La resistenza equivalente R_{e} può anche essere ottenuta dalla relazione

  •  R_{e}= {E_0 \over I_{cc}}

nella quale I_{cc} rappresenta la corrente di cortocircuito che circola in corrispondenza dei terminali A-B quando gli stessi vengano cortocircuitati.

Dimostrazione del teorema di Thévenin[modifica | modifica wikitesto]

Per dimostrare il teorema di Thevenin conviene fare riferimento alle tre figure seguenti che ci aiuteranno a capire i passi logici nei quali il teorema stesso si articola. La dimostrazione consiste nel verificare l'equivalenza della fig. 1 con la fig. 3 ai fini del calcolo di V e di I in cui E_0 assume il valore della tensione a vuoto presente ai nodi A-B ed R_e quello della resistenza vista guardando dentro la scatola nera sempre dai nodi A-B.


I circuiti di fig. 1 e 2 risultano equivalenti avendo sostituito ad R il generatore di corrente I che conserva inalterata la corrente in tale ramo; il circuito di fig.3 risulta equivalente ai primi due ai fini del calcolo di V ed I in virtù del teorema di Thévenin.


1) Si consideri il circuito di fig. 1 che a valle dei nodi A-B evidenzia la resistenza R di cui si vogliono determinare la tensione V presente ai suoi capi e la corrente I che l’attraversa. A monte di A-B c’è un contenitore, una scatola nera, che racchiude al suo interno il resto del circuito composto da generatori di tensione e di corrente e da altre resistenze.

2) Nulla cambia nei valori di V e di I se il resistore R viene sostituito da un generatore di corrente che continua ad imporre a valle dei nodi A-B la stessa corrente I. In altri termini anziché studiare il circuito di fig. 1 è possibile studiare il circuito di fig. 2 ad esso equivalente.

3) Per calcolare la tensione V di fig. 2 è possibile ricorrere al principio di sovrapposizione degli effetti.

4) All’interno della scatola nera di fig. 2 si terrà dapprima attivo il solo generatore di tensione E_1, sostituendo con cortocircuiti gli altri generatori di tensione e con circuiti aperti i generatori di corrente ivi presenti e si sostituirà con un circuito aperto anche il generatore di corrente I a valle dei nodi A-B: in questo modo si determinerà la tensione V_{E_1} ai capi di A-B dovuta alla sola E_1. Si procederà allo stesso modo per gli altri generatori di tensione E_2,…,E_n, ognuno dei quali contribuirà con V_{E_2},…,V_{E_n} ai capi di A-B, avendo cura di continuare a sostituire con un circuito aperto il generatore di corrente I.

5) All’interno della scatola nera di fig. 2 si terrà poi attivo dapprima il solo generatore di corrente I_1, sostituendo con circuiti aperti gli altri generatori di corrente e con cortocircuiti i generatori di tensione ivi presenti e si sostituirà con un circuito aperto anche il generatore di corrente I a valle dei nodi A-B: in questo modo si determinerà la tensione V_{I_1} ai capi di A-B dovuta alla sola I_1. Si procederà allo stesso modo per gli altri generatori di corrente I_2,…,I_n, ognuno dei quali contribuirà con V_{I_2},…,V_{I_n} ai capi di A-B, avendo cura di continuare a sostituire con un circuito aperto il generatore di corrente I.

6) Dal momento che nei punti 4) e 5) si è sempre sostituito con un circuito aperto il generatore di corrente I, la somma V_{E_1}+…+V_{E_n}+V_{I_1}+…+V_{I_n} rappresenta la tensione E_0 che si manifesta a vuoto ai capi di A-B.

7) Per completare l’applicazione del principio di sovrapposizione resta infine da considerare il generatore di corrente I. A tal fine all’interno della scatola nera di fig. 2 si sostituiranno con cortocircuiti tutti i generatori di tensione e con circuiti aperti tutti i generatori di corrente e questa volta si lascerà attivo il solo generatore di corrente I. La tensione ai capi di A-B che si determina a causa della presenza di quest’ultimo sarà data da -R_eI. Il termine R_e rappresenta la resistenza equivalente vista dal generatore di corrente che guarda dentro A-B. Il segno meno deriva dal fatto che, tenendo conto del verso delle frecce in fig. 2, il generatore di corrente produce una tensione positiva di verso opposto rispetto al verso positivo delle tensioni V_{E_1},…,V_{E_n},V_{I_1},…,V_{I_n} considerate nei punti 4) e 5).

8) Sommando tutte le tensioni parziali ricavate finora si ha che la tensione V ai capi di A-B è data da V=E_0-R_eI. Tale formula non è altro che la rappresentazione del circuito di fig. 3 che risulta equivalente ai fini del calcolo di V e di I al circuito di fig.2 che a sua volta risulta equivalente al circuito di fig 1 (c.v.d).

In definitiva quindi per determinare E_0 bisogna aprire il ramo A-B di fig. 1 e calcolare la tensione che viene a manifestarsi fra tali nodi. Il calcolo può avvenire con uno qualunque dei metodi di risoluzione dei circuiti elettrici (correnti di maglia, potenziali ai nodi, Millman, ecc.) e quindi non necessariamente con il principio di sovrapposizione degli effetti utilizzato nella presente dimostrazione. Per determinare la R_e bisogna ancora una volta aprire il ramo A-B di fig.1, annullare i generatori di corrente e di tensione dentro la scatola nera e calcolare la resistenza che si vede guardando all’interno di tali nodi.

Teorema di Thévenin simbolico[modifica | modifica wikitesto]

Una rete simbolica tra i nodi A e B è equivalente a un generatore normale di tensione la cui f.e.m. simbolica \bar{E_{eq}} è pari al fasore di tensione che si manifesta a vuoto fra tali nodi e la cui impedenza interna \dot{Z_{i}} è pari all'impedenza equivalente \dot{Z_{eq}} in corrispondenza dei morsetti AB quando la rete è resa passiva con l'azzeramento dei suoi generatori ideali simbolici di tensione e di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).

L'impedenza equivalente può anche ricavarsi con la formula

  •  \dot{Z}_{eq}= \dot{Z}_i = { \bar{E_{eq}} \over \bar{I_{cc}}}

Esempio applicativo[modifica | modifica wikitesto]

Circuito in esame
Calcolo della tensione d'uscita a vuoto

La tensione equivalente di Thévenin è la tensione presente ai terminali di uscita A-B quando si apre il circuito in corrispondenza degli stessi.

Nel caso in esame conviene utilizzare il principio del partitore di tensione: avendo aperto il circuito ai terminali A-B, l'unica corrente circolante è quella erogata dal generatore di tensione V1 che passa in successione attraverso le resistenze R4, R3 e R2. Si ha dunque:

Calcolo della resistenza equivalente
Circuito equivalente secondo Thévenin



i=V_\mathrm{1}/(R_2+R_3+R_4)=3{,}75\,\mathrm{mA}\,\!


V_\mathrm{AB}
= i(R_2 + R_3)
= {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1} =


= {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) + 2\,\mathrm{k}\Omega} \cdot 15\,\mathrm{V} = 7{,}5\,\mathrm{V}

La resistenza equivalente di Thévenin è la resistenza misurata tra i punti A e B "guardando indietro" dentro il circuito: equivale alla resistenza che vedrebbe una corrente entrante nel nodo A e uscente dal nodo B. In base al teorema di Thévenin bisogna sostituire ogni generatore di tensione con un cortocircuito e ogni generatore di corrente con un circuito aperto. La resistenza tra i terminali A-B può essere calcolata usando le formule per i circuiti in serie e parallelo:


R_\mathrm{AB} = R_1 + \left(\left(R_3 + R_2\right)\|R_4\right) =1\,\mathrm{k}\Omega + \left( \left( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \right) \| 2\,\mathrm{k}\Omega \right) = 2\,\mathrm{k}\Omega

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ H. Helmholtz (1853) "Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche", Annalen der Physik und Chemie, vol. 89, n.º 6, pagg. 211–233, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k151746.image.f225.langFR
  2. ^ L. Thévenin (1883) "Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes", Annales Télégraphiques (Troisieme série), vol. 10, pagg. 222–224. Ristampato come: L. Thévenin (1883) "Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique", Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, vol. 97, pagg. 159–161.
  3. ^ Don H. Johnson (April 2003) "Equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent," Proceedings of the IEEE, vol. 91, n.º 4, pagg. 636-640, http://www.ece.rice.edu/~dhj/paper1.pdf