Funzione tau sui positivi

I primi 250 valori della funzione τ

In matematica la funzione tau sui positivi o funzione dei divisori, è una funzione che associa ad ogni numero intero positivo il numero dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso, viene solitamente indicata con $\operatorname {\tau } (n)$ o $\operatorname {d} (n)$,

La funzione vale $1$ per $n=1$, vale $2$ per tutti i numeri primi e ha valore maggiore di $2$ per tutti gli altri interi positivi. Inoltre la funzione $\tau$ è una funzione moltiplicativa.

Se $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$ (dove questa è la fattorizzazione di $n$ in numeri primi), allora vale la formula

$\tau (n)=(q_{1}+1)(q_{2}+1)\cdots (q_{k}+1).$

Da questa scrittura appare evidente che la funzione è dispari se e solo se $\displaystyle n$ è un quadrato perfetto.

Segue una tabella dei valori di $\tau$ per i primi 20 numeri interi positivi:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\tau (n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4
$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\tau (n)$	2	6	2	4	4	5	2	6	2	6

Proprietà

La funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\tau \left(n\right)}{n^{s}}}=\zeta \left(s\right)^{2}$

Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha $\tau \left(n\right)=\sigma _{0}\left(n\right)$. In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{+\infty }\tau \left(n\right)x^{n}$

Voci correlate

• Funzione sigma sui positivi