Funzione sigma

I primi 250 valori della funzione σ

La funzione $\sigma \left(n\right)$ è una funzione aritmetica, definita come la somma di tutti i divisori positivi di un numero naturale $n$:

$\sigma \left(n\right)=\sum _{d|n}d.$

La funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle $\alpha$-esime potenze dei divisori di $n$:

$\sigma _{\alpha }\left(n\right)=\sum _{d|n}d^{\alpha }.$

Valori della funzione

Per $n\geq 2$, il valore di $\sigma (n)$ è sempre maggiore o uguale del numero $n$ stesso più $1$, perché ogni numero e $1$ sono divisori del numero stesso: si ha $\sigma (n)\geq n+1$, con l'uguaglianza se e solo se $n$ è un numero primo. Se invece $n$ è composto, vale la disuguaglianza più forte $\sigma (n)\geq n+{\sqrt {n}}+1$, con l'uguaglianza se e solo se il numero è il quadrato di un numero primo.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
σ(n)	1	3	4	7	6	12	8	15	13	18
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
σ(n)	12	28	14	24	24	31	18	39	20	42

Proprietà

La funzione sigma è una funzione moltiplicativa, ma non completamente moltiplicativa; da questo si può ricavare una formula compatta per il calcolo di questa funzione. Sia $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$.

$\sigma (p_{i}^{q_{i}})=1+p_{i}+p_{i}^{2}+p_{i}^{3}+\cdots +p_{i}^{q_{i}}={\frac {p_{i}^{q_{i}+1}-1}{p_{i}-1}},$

essendo una serie geometrica, e quindi

$\sigma (n)={\frac {p_{1}^{q_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}{\frac {p_{2}^{q_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\cdots {\frac {p_{k}^{q_{k}+1}-1}{p_{k}-1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{q_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.$

Soddisfa l'identità

$\sigma _{\alpha }\left(n\right)=\prod _{p^{m}|n}{\frac {p^{\alpha \left(m+1\right)}-1}{p^{\alpha }-1}}.$

Altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono

$-\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-x^{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{-1}\left(n\right)x^{n},$

e

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{\alpha }\left(n\right)}{n^{s}}}=\zeta \left(s\right)\zeta \left(s-\alpha \right),$

dove $\zeta \left(s\right)$ è la funzione zeta di Riemann.

La funzione $\sigma _{0}(n)$ è anche nota come funzione tau.

Casi particolari

La funzione sigma generalizzata con $\alpha =0$, $\sigma _{0}(n)$ restituisce il numero totale di divisori di $n$. Sia n scomponibile in fattori primi come $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$, allora

$\sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{k}(q_{i}+1).$

Ad esempio, il numero di divisori del numero $24=2^{3}\cdot 3$ può essere calcolato come

$\sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(q_{i}+1)=(3+1)\cdot (1+1)=8.$

In effetti il numero 24 ha 8 divisori (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24).

Codice

In C:

int sigma( int N ){//la funzione riceve un intero naturale N e restituisce la somma dei suoi divisori
	int i, res=0;
	if (N<1) return 0;//se N è non positivo, restituisce zero
	for (i=1; i<=N; i++)
		if( !(N%i) ) // equivalente a (N%i)==0
			res+=i;
	return res;
}

Voci correlate

• Funzione tau sui positivi

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Divisor Function, su MathWorld, Wolfram Research.