Teoremi di Fredholm

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In matematica, i teoremi di Fredholm sono un insieme di risultati dovuti a Ivar Fredholm nell'ambito della teoria di Fredholm delle equazioni integrali.

Si tratta di teoremi strettamente correlati che possono essere esposti nell'ambito delle equazioni integrali, dell'algebra lineare o dell'operatore di Fredholm su spazi di Banach. Tra i vari teoremi vi è anche l'alternativa di Fredholm.

Algebra lineare[modifica | modifica wikitesto]

Sia M una matrice, allora il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori riga è il nucleo della matrice:

(\operatorname{row } M)^\bot = \ker M

In modo simile, il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori colonna è il nucleo della matrice aggiunta:

(\operatorname{col } M)^\bot = \ker M^*

Equazioni integrali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione integrale di Fredholm.

Sia K(x,y) il nucleo di una trasformata integrale e si considerino le equazioni:

\int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = \lambda \phi(x) \qquad \int_a^b \psi(x) \overline{K(x,y)} \, dx = \overline {\lambda}\psi(y)

dove \overline{\lambda} denota il complesso coniugato del numero complesso \lambda, e similmente per \overline{K(x,y)}.

Allora per ogni valore fissato di \lambda le equazioni hanno o la soluzione banale \psi(x)=\phi(x)=0 oppure hanno lo stesso numero di soluzioni linearmente indipendenti \phi_1(x),\cdots,\phi_n(x), \psi_1(y),\cdots,\psi_n(y).

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che K(x,y) sia a quadrato sommabile sul rettangolo [a,b]\times[a,b], dove a e b possono assumere valore illimitato.

Il teorema può essere esteso a spazi in più dimensioni, come ad esempio le superfici di Riemann.

Esistenza delle soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Uno dei teoremi di Fredholm riguarda l'esistenza delle soluzioni dell'equazione di Fredholm:

 \lambda \phi(x)-\int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy=f(x)

Le soluzioni esistono se e solo se la funzione f(x) è ortogonale all'insieme completo delle soluzioni \{\psi_n(x)\} della corrispondente equazione aggiunta:

\int_a^b \overline{\psi_n(x)} f(x) \,dx=0

dove \overline{\psi_n(x)} è il complesso coniugato di \psi_n(x), e la precedente relazione è uno degli insiemi di soluzioni per:

\lambda\overline{\psi(y)} -\int_a^b \overline{\psi(x)} K(x,y) \,dx=0

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che K(x,y) sia a quadrato sommabile sul rettangolo [a,b]\times[a,b].

Teorema analitico di Fredholm[modifica | modifica wikitesto]

Sia D un sottoinsieme aperto e connesso di \C, sia f una funzione analitica definita su D a valori nello spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert e sia f compatta per ogni z \in D. Il teorema analitico di Fredholm afferma che o (I - f(z))^{-1} non esiste per alcun z \in D, oppure (I - f(z))^{-1} esiste per ogni z in D \setminus S, dove S è un sottoinsieme discreto contenuto in D, ovvero tale che non ha punti limite in tale insieme. In tal caso l'operatore (I - f(z))^{-1} è mereomorfo di D e analitico in D\S. Inoltre, i residui ai poli sono operatori dal rango finito, e se z \in S allora f(z)\psi= \psi ha una soluzione non nulla nello spazio di Hilbert.[1]

L'alternativa di Fredholm[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Alternativa di Fredholm.

L'alternativa di Fredholm è un importante corollario del teorema analitico di Fredholm che afferma che se A è un operatore compatto su uno spazio di Hilbert allora o (I - f(z))^{-1} esiste oppure A\psi= \psi ha una soluzione.[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 202
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 203

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (SV) E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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