Operatore di Fredholm

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In matematica, in particolare all'interno della teoria di Fredholm, un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach il cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita, e la sua immagine è chiusa, sebbene quest'ultima richiesta sia ridondante.[1]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita. In modo equivalente, un operatore T:X \to Y è di Fredholm se esiste un operatore lineare limitato S: Y\to X tale per cui gli operatori:

 \mathrm{Id}_X - ST \qquad \mathrm{Id}_Y - TS

sono compatti rispettivamente su X e Y.

L'indice \mathrm{ind}\,T di un operatore di Fredholm T è definito come:

 \mathrm{ind}\,T := \dim \ker T - \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}\,T

o, in modo analogo:

 \mathrm{ind}\,T := \dim \ker T - \mathrm{dim}\,\mathrm{coker}\,T

Se l'indice è \pm \infty l'operatore è detto essere semi-Fredholm: si tratta di un operatore caratterizzato dal possedere nucleo oppore conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.[2]

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

L'insieme degli operatori di Fredholm da X a Y forma un insieme aperto nello spazio di Banach L(X,Y) degli operatori lineari limitati (e dunque continui). Più precisamente, se T_0:X \to Y è di Fredholm allora esiste \epsilon > 0 tale che ogni T \in L(X,Y) che soddisfa \|T - T_0\| è di Fredholm e ha lo stesso indice di T_0.

Se T è un operatore di Fredholm da X a Y e U è di Fredholm da Y a Z, allora la composizione U \circ T è di Fredholm da X a Z e si ha:

\mathrm{ind} (U \circ T) = \mathrm{ind}(U) + \mathrm{ind}(T)

Se T:X \to Y è un operatore di Fredholm, il suo aggiunto T':Y' \to X' è di Fredholm e \mathrm{ind}\,T = -\mathrm{ind}(T'), e ciò vale anche quando X e Y sono spazi di Hilbert (in cui la definizione di aggiunto si diversifica).

Se T è un operatore di Fredholm e K è un operatore compatto, allora T*K è ancora di Fredholm e l'indice non cambia.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Yuri A. Abramovich and Charalambos D. Aliprantis, "An Invitation to Operator Theory", p.156
  2. ^ (EN) semi-Fredholm operator in PlanetMath.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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