Determinante di Fredholm

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In matematica, il determinante di Fredholm è una funzione a valori complessi che generalizza la nozione di determinante di una matrice. Definito per operatori limitati su uno spazio di Hilbert, deve il nome a Erik Ivar Fredholm.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia H uno spazio di Hilbert e G l'insieme degli operatori limitati invertibili definiti su H che hanno la forma I + T, dove I è l'identità e T un operatore di classe traccia (dunque un operatore compatto). L'insieme G è un gruppo in quanto:

 (I+T)^{-1} - I = - T(I+T)^{-1}

e si può definire in modo naturale una metrica data da:

 d(X,Y)=\|X-Y\|_1

dove  \| A\|_1 = {\rm Tr}|A|. Se H ha come prodotto interno (\cdot,\cdot), allora la potenza esterna k-esima \Lambda^k H è a sua volta uno spazio di Hilbert con prodotto interno:

 (v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_k, w_1 \wedge w_2 \wedge \cdots \wedge w_k) = {\rm det} \, (v_i,w_j)

In particolare:

 e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} \qquad (i_1<i_2<\cdots<i_k)

fornisce una base ortonormale di \Lambda^k H se (e_i) è una base ortonormale di H.

Se A è un operatore limitato su H, allora A definise funzionalmente un operatore limitato \Lambda^k(A) su \Lambda^k H:

 \Lambda^k(A) v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_k = Av_1 \wedge Av_2 \wedge \cdots \wedge Av_k

Se A è di classe traccia, allora lo è anche \Lambda^k(A) con:

 \|\Lambda^k(A)\|_1 \le \|A\|_1^k/k!

In questo modo ha senso la definizione di determinante di Fredholm:

 {\rm det}\, (I+ A) = \sum_{k=0}^\infty {\rm Tr} \Lambda^k(A)

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Se A è di classe traccia:
 {\rm det}\, (I+ zA) = \sum_{k=0}^\infty z^k{\rm Tr} \Lambda^k(A)
definisce una funzione intera tale che:
 |{\rm det}\, (I+ zA)| \le \exp (|z|\cdot \|A\|_1)
  • La funzione \det(I + A) è continua sullo spazio degli operatori di classe traccia, con:
  |{\rm det}(I+A) -{\rm det}(I+B)| \le \|A-B\|_1 \exp (\|A\|_1 + \|B\|_1 +1)
Tale disuguaglianza può essere migliorata scrivendola nella forma:
  |{\rm det}(I+A) -{\rm det}(I+B)| \le \|A-B\|_1 \exp (\max(\|A\|_1,\|B\|_1) +1)
  • Se A e B sono di classe traccia:
 {\rm det}(I+A) \cdot {\rm det}(I+B) = {\rm det}(I+A)(I+B)
  • La funzione determinante definisce un omomorfismo tra G e il gruppo moltiplicativo \C^* dei numeri complessi non nulli.
  • Se T \in G e X è invertibile:
 {\rm det}\, XTX^{-1} ={\rm det} \, T
  • Se A è di classe traccia:
 {\rm det}\, e^A = \exp \, {\rm Tr} (A)
 \log {\rm det}\, (I+ zA) ={\rm Tr} (\log{(I+zA)})=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{{\rm Tr} A^k}{k}z^k

Commutatori[modifica | modifica sorgente]

Una funzione F(t):(a,b)\to G è differenziabile se F(t)-I è differenziabile come funzione che mappa nello spazio vettoriale degli operatori di classe traccia, ovvero se esiste il limite:

 \dot{F}(t) = \lim_{h\rightarrow 0} {F(t+h) - F(t)\over h}

nella norma  \| \cdot \|_1 . Se g(t) è una funzione differenziabile che mappa nello spazio degli operatori di classe traccia, allora lo è anche \exp(g(t)) e si ha:

 F^{-1} \dot{F} = {{\rm id} -  \exp - {\rm ad} g(t)\over  {\rm ad} g(t)} \cdot \dot{g}(t)

dove:

 {\rm ad}(X)\cdot Y = XY -YX

Israel Gohberg e Mark Krein provarono che se F è differenziabile a valori in G allora f = \det(F) è una funzione differenziabile a valori in \C^* con:

 f^{-1} \dot{f} = {\rm Tr} F^{-1} \dot{F}

Questo risultato fu utilizzato da Joel Pincus, William Helton e Roger Howe per mostrare che se A e B sono operatori limitati con commutatore AB-BA di classe traccia allora:

 {\rm det}\, e^A e^B e^{-A} e^{-B} = \exp {\rm Tr} (AB-BA)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Barry Simon, Trace Ideals and Their Applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 120, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3581-5.
  • John A. Wheeler, On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure, Physical Review, vol. 52, 1937, p. 1107.
  • Folkmar Bornemann, On the numerical evaluation of Fredholm determinants in Math. Comp., vol. 79, Springer, 2010, pp. 871–915.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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