Teorema di Casorati-Weierstrass

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Modello del grafico di exp(1/z) centrato nella singolarità essenziale 0. La tonalità rappresenta l'argomento del valore, l'intensità il modulo. L'immagine mostra come arbitrariamente vicino allo zero la funzione assuma ogni valore e come avvicinandosi da punti diversi essa abbia comportamenti diversi.

Il teorema di Casorati-Weierstrass in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Karl Theodor Wilhelm Weierstrass e Felice Casorati.

Premesse[modifica | modifica wikitesto]

Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero z0, e sia f una funzione olomorfa f definita in U − {z0}. Il numero complesso z0 prende il nome di singolarità essenziale per f se non esiste alcun numero naturale n tale che il limite

\lim_{z \to z_0} f(z) \cdot (z - z_0)^n

esista. Per esempio, la funzione f(z) = exp(1/z) ha una singolarità essenziale in z0 = 0, mentre la funzione g(z) = 1/z3 no (ha infatti un polo in 0).

Condizione necessaria e sufficiente perché un punto z0 sia una singolarità essenziale isolata per f è che

\limsup_{z\rightarrow z_0}|f(z)|=\infty

e

\liminf_{z\rightarrow z_0}|f(z)|=0

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in z0, e se V è un qualunque intorno di z0 contenuto nel campo di olomorfia U di f, allora f(V − {z0}) è denso in C.

O, equivalentemente:

Sia ε > 0 e sia I un intorno arbitrario di z0. Per ogni numero complesso w esistono infiniti punti zI tale che |f(z) - w| < ε.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia w un numero complesso arbitrario. Se z0 è una singolarità essenziale per f(z), è tale anche per la funzione f(z)-w. Si avrà quindi:

\liminf_{z\rightarrow z_0}|f(z)-w|=0,

e dalla definizione di limite inferiore segue subito il teorema.

Sviluppi[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema venne considerevolmente rafforzato dal teorema di Picard che afferma che, utilizzando la notazione di cui sopra, f assume ogni valore complesso, con una sola possibile eccezione, infinite volte in V.


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