Tabella della verità

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Le tabelle della verità (o tabelle logiche) sono tabelle matematiche usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa. Utilizzate come principale rappresentazione di una funzione booleana, le espressioni possono essere costrutti formati da più espressioni, in cui all'inizio compare una premessa, ed alla fine una conclusione. La tabella di verità elenca sulle caselle delle righe corrispondenti alle colonne delle variabili della funzione tutte le possibili combinazioni di valori che possono assumere le variabili booleane ed il risultato della funzione nelle caselle delle righe corrispondenti all'ultima colonna a destra, per tale combinazione di valori.

Le tabelle di verità furono introdotte da Gottlob Frege, Charles Peirce, Bertrand Russell e altri verso il 1880, ed assunsero la forma attuale nel 1922, con i lavori indipendenti di Emil Post e Ludwig Wittgenstein. Nel suo Tractatus Logico-Philosophicus Wittgenstein le usa per inquadrare le funzioni della verità all'interno di una serie. La vasta influenza esercitata da questa opera ha portato ad una larga diffusione delle tabelle di verità.

Le tabelle di verità sono usate per calcolare il valore di espressioni logico-funzionali. Le espressioni logico-funzionali possono essere sia atomiche (ad esempio, variabili proposizionali o semplici segnaposto) oppure funzioni proposizionali costituite da formule atomiche e operatori logici (come AND, OR e NOT). Le intestazioni di colonna delle tabelle della verità mostrano (i) le funzioni e/o le variabili proposizionali, e (ii) le espressioni di verità risultanti dalle combinazioni di quelle funzioni e variabili proposizionali. Nelle righe sono riportati tutti i possibili valori calcolati di V = vero o F = falso assegnati a (i) e (ii). In altre parole: ogni riga è una diversa interpretazione di (i) e (ii).

Le tabelle di verità applicate alla logica classica (cioè a quella binaria) sono limitate alla logica booleana, dove sono ammessi soltanto due valori, vero (indicato anche con "1") e falso (indicato con "0").

Ad esempio la seguente tabella rappresenta la funzione booleana V = XY + XZ + YZ = X AND Y OR X AND Z OR Y AND Z esprimibile anche come  v = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \vee (y \wedge z)

x y z (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \vee (y \wedge z)
F F F F
F F V F
F V F F
F V V V
V F F F
V F V V
V V F V
V V V V

Operatore logico negazione[modifica | modifica wikitesto]

La relazione di negazione NOT (  ) è un connettivo logico, attraverso il quale, a partire da una proposizione A si forma una nuova proposizione chiamata negazione di A \overline A la quale è vera quando A è falsa, ed è falsa quando A è vera. La relazione è così definita:


A \overline A
F V
V F

Operatore logico congiunzione[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo due variabili proposizionali, A e B, e l'operatore logico AND (∧), ottenendo la congiunzione logica "A e B" o, più correttamente, A \wedge B. In parole povere, se sia A che B sono vere, allora la congiunzione A \wedge B è vera; ogni diversa assegnazione di valori di verità rende A \wedge B falsa. La relazione è così definita:

A B A \wedge B
F F F
F V F
V F F
V V V

Operatore logico disgiunzione[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo due variabili proposizionali, A e B, e l'operatore logico OR (V), ottenendo la congiunzione logica "A OR B", se sia A che B sono vere, allora la congiunzione A V B è vera; se sono false A V B è falsa; se A è falsa e B è vera allora A V B è vera e viceversa se B è vera ed A è falsa allora A V B è vera. La relazione è così definita:

A B A \vee B
F F F
F V V
V F V
V V V

Operatore NAND (congiunzione negata)[modifica | modifica wikitesto]

Espressioni composte possono essere costruite usando le parentesi per indicare la precedenza negli operatori.

La negazione della congiunzione \overline{A \wedge B} = A \overline{\wedge} B, e la disgiunzione della negazione ¬A v ¬ B risultano nella seguente:

A B AB A B ¬ A ¬ B ¬ A v ¬ B
F F F V V V V
F V F V V F V
V F F V F V V
V V V F F F F

Operatore NOR[modifica | modifica wikitesto]

Le tabelle di verità possono essere usate per verificare equivalenze logiche.

La negazione della disgiunzione ¬ (AB) ≡ A B, e l'unione delle congiunzioni ¬ A ∧ ¬ B risultano così di seguito equivalenti:

A B A B A B ¬ A ¬ B ¬ A ∧ ¬ B
F F F V V V V
F V V F V F F
V F V F F V F
V V V F F F F

Analizzando e confrontando le due tabelle di verità, dal momento che tutti i valori di stato possibili per A e B portano allo stesso stato per pari condizioni di A B e ¬ A ∨ ¬ B; e per A B e ¬ A ∧ ¬ B, risultando uguali tra loro e alternativamente utilizzabili. Questa equivalenza è conosciuta come legge di De Morgan.

Tabelle di verità per gli operatori logici più comuni[modifica | modifica wikitesto]

Ecco le tabelle di verità per gli operatori logici più comuni:

P Q PQ PQ P Q P Q PQ PQ
F F F F F V V V
F V F V V F V F
V F F V V F F V
V V V V F V V V

Legenda:

V = vero, F = falso
∧ = AND (congiunzione logica)
∨ = OR (disgiunzione logica)
= XOR (OR esclusivo)
= XNOR (NOR esclusivo)
→ = "se-allora" (implicazione logica)
← = "(allora)-se" (controimplicazione logica)
<↔>: se e soltanto se è logicamente equivalente a <>: XNOR (NOR esclusivo).

I diagrammi di Johnston, simili ai diagrammi di Eulero-Venn, forniscono un metodo di visualizzazione della tabella della verità. Un diagramma di Johnston interattivo, mostrante le tabelle della verità, è reperibile qui.

Tabelle di verità condensate per operatori binari[modifica | modifica wikitesto]

Una forma condensata della tabella di verità è usata per gli operatori binari; in questa, i titoli delle righe e colonne indicano gli operandi, e gli elementi della matrice il risultato. L'algebra di Boole, ad esempio, usa questa notazione condensata della tabella della verità:

F V
F F F
V F V
F V
F F V
V V V

Questa notazione è utile specialmente se gli operatori sono commutativi, benché si possano specificare le righe come primo operando e le colonne come secondo. La notazione abbreviata è particolarmente utile quando si trattano valori logici multipli, dato che rallenta il vertiginoso aumento di righe che sarebbe altrimenti necessario usare. Fornisce anche una forma caratteristica e prontamente riconoscibile della distribuzione dei valori nella tabella, permettendo al lettore una più rapida comprensione.

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