Semiasse maggiore

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In geometria, il semiasse maggiore a si applica all'ellisse e all'iperbole.

Ellisse[modifica | modifica sorgente]

a è il semiasse maggiore, b il semiasse minore

Il semiasse maggiore di un'ellisse è la metà dell'asse maggiore, passa dal centro attraverso uno dei fuochi, fino al bordo dell'ellisse. L'asse maggiore è la linea più lunga di un'ellisse, attraversa il centro ed entrambi i fuochi.

È in relazione col semiasse minore b attraverso l'eccentricità e e il semilato retto l , nel modo seguente:

b = a \sqrt{1-e^2}
al = b^2

Il semiasse maggiore è il valore medio della distanza minima e massima da un fuoco ai punti sull'ellisse. Considerando l'equazione in coordinate polari, con un fuoco sull'origine e l'altro sull'asse positivo delle ascisse,

r (1 - e \cos \theta) = l

Il valore medio di r={l\over{1+e}} e r={l\over{1-e}}, è a={l\over{1-e^2}}

Iperbole[modifica | modifica sorgente]

Il semiasse maggiore di un'iperbole è la metà della distanza tra i due rami; se è nella direzione x l'equazione è:

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1

In termini di semilato retto ed eccentricità,

a={{l}\over{e^2-1}}

Astronomia[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Leggi di Keplero.

In astronomia, il semiasse maggiore è una delle più importanti caratteristiche di un'orbita, insieme al suo periodo orbitale. Per gli oggetti del sistema solare, il semiasse maggiore è in relazione al periodo orbitale nelle Leggi di Keplero (a suo tempo dedotte empiricamente),

T^2 \propto a^3

dove T è il periodo in anni, e a è il semiasse maggiore in unità astronomiche. Questa forma è una semplificazione della forma generale determinata da Isaac Newton:

T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3

dove G è la costante di gravitazione universale, M è la massa del corpo centrale, e m è la massa del corpo orbitante. Tipicamente, la massa del corpo centrale è molto più grande di quella del corpo orbitante, tanto che m può essere ignorato.

Spesso si dice che il semiasse maggiore è la distanza "media" tra il primario (il fuoco dell'ellisse) e il corpo in orbita. Questo non è del tutto esatto, poiché dipende da quale media viene presa in considerazione.
Facendo la media della distanza sull'anomalia eccentrica, effettivamente risulta il semiasse maggiore. Facendo la media sull'anomalia vera ne risulta, strano a dirsi, il semiasse minore b = a \sqrt{1-e^2}. Calcolandola sull'anomalia media, infine, si ottiene la media rispetto al tempo: a (1 + \frac{e^2}{2}).


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