Anomalia eccentrica

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L'anomalia eccentrica è il valore angolare ausiliario usato per correlare l'anomalia vera, cioè quella osservata, con quella media, cioè quella calcolata.

L'anomalia è data dall'angolo E tra la linea degli apsidi e la linea tra il centro geometrico dell'ellisse e la proiezione del pianeta sul cerchio ausiliario di raggio pari al semiasse maggiore dell'ellisse.

Nella meccanica celeste questo tipo di anomalia è un parametro angolare che serve per definire la posizione di un corpo in movimento lungo un'orbita ellittica Kepleriana.

L'anomalia eccentrica di un punto p è l'angolo z-c-x

Per un punto p = (x,y) su una ellisse con equazione:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

L'anomalia eccentrica è l'angolo E tale che:

  \cos E = \frac{x}{a}\quad \quad \sin  E = \frac{y}{b}

L'anomalia eccentrica è uno dei tre parametri angolari (anomalie) che definiscono una posizione lungo un'orbita; le altre due sono: anomalia vera e anomalia media.

L'anomalia eccentrica può anche essere ricavata dall'anomalia vera tramite le formule:

  \cos E = \frac{x}{a} =   \frac{ e + \cos \theta }{1 + e \cos \theta }
  \sin  E = \frac{y}{b}  =  \frac{ \sqrt{1 - e^2} \, \sin \theta }{1 +  e \cos \theta }

dove e è l'eccentricità, e da questo:

 E = \mathop{\mathrm{arg}}( e + \cos \theta, \; \sqrt{1 - e^2} \, \sin \theta)

dove arg(X,Y) è la coordinata angolare del punto (X,Y) nelle coordinate polari.

La seguente relazione tiene presente anche di:

 \tan E = \frac{ \sin \theta \sqrt{1-e^2} }{e + \cos \theta}

e da qui:  E = \tan^{-1} \left( \frac{ \sin \theta \sqrt{1-e^2} }{e + \cos \theta} \right)

L'anomalia eccentrica E può essere anche connessa all'anomalia media M attraverso la formula:

M =  E - e \cdot \sin E

Quindi la conoscenza dell'anomalia eccentrica è basilare per individuare la posizione di un corpo lungo l'orbita ellittica che percorre perché da questa si può arrivare alla determinazione dell'anomalia vera che è quella che ci indica, attraverso il valore del proprio angolo, l'intersezione con l'orbita stessa e quindi la posizione.

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