Regola di Leibnitz

Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata n-esima del prodotto di m funzioni f tutte derivabili mediante il coefficiente multinomiale:

$\frac{\operatorname d^n}{{\operatorname dx}^n} \prod_{i=1}^m f_i = \sum_{\mathbf k=0}^n {n \choose \mathbf k} \prod_{i=1}^m f_i^{(n-k_i)}(x)$

Enunciato semplice

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in x è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

$\left[g(x) f(x)\right]' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$

Dimostrazione

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x:

$[f(x) \, g(x)]' = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

Ora aggiungiamo e togliamo f(x+h)g(x):

$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)}{h}$

Raccogliendo f(x+h) e g(x) si ottiene

$\lim_{h\to 0} f(x+h) \left[ \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right] \; + \; \lim_{h \to 0} g(x) \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right]$

Siccome f(x) è, per ipotesi, derivabile in x, quindi è qui anche continua: $\lim_{h\to 0} f(x+h) = f(x)$. Si conclude per la (1) che:

$\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$

e quindi:

$f(x)g'(x) + f'(x)g(x) \$

come volevasi dimostrare.

La scoperta di Leibniz

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui f(x) e g(x) sono due funzioni di x. Allora il differenziale di fg è

$\operatorname d(fg)\,$	$= (f + \operatorname dg)(g +\operatorname df) - fg\,$
	$= f(\operatorname df) + f(\operatorname df) + (\operatorname df)(\operatorname dg)$

Siccome il termine (df)(dg) è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

$\operatorname d(fg) = f(\operatorname dg) + g(\operatorname df)$

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale dx, si ottiene

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dx} (fg) = f \left( \frac{\operatorname dg}{\operatorname dx} \right) + g \left( \frac{\operatorname df}{\operatorname dx} \right)$

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

$(fg)' = fg' + f'g.$

Funzioni costanti

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione f(x) per una costante k:

$D\left[k f(x)\right] = k\cdot f'(x) + k' \cdot f(x)$

ma k', derivata di una costante, è uguale a 0, per cui, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

$D\left[k f(x)\right]= k f'(x)$

Generalizzazioni

Prodotto multiplo

La regole può essere generalizzata anche per una collezione di n funzioni derivabili, $f_1, \dots, f_k$ ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

$[f_1(x)f_2(x)\ldots f_n(x)]' = f_1'(x)f_2(x)\ldots f_n(x)\;+\;f_1(x)f_2^{\prime}(x) \ldots f_n(x) \;+\; \ldots \;+\; f_1(x)f_2(x) \ldots f_n^{\prime}(x)$

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni ${f_j(x)}$ prive di zeri:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = \sum_{j=1}^k \frac{f'_j(x)}{f_j(x)} \prod_{i=1}^k f_i(x)$

Applicazione polinomiale

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

${\operatorname d \over \operatorname dx} a x^n = nax^{n-1}$

per n intero positivo:$n \in \mathbb{N}^+$

xⁿ in fondo è una produttoria di n funzioni uguali: x₁, x₂, ..., x_n per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di n elementi tutti uguali tra loro:

$= n[x_1 x_2 \ldots x_{n-1}] \cdot x'$

ora applicando il principio di induzione (ovvero nx^n-1) per x' e ricordando che x è uguale a x₁, possiamo riscrivere:

$= nx^{n-1} \cdot (1 \cdot x^{1-1}) = nx^{n-1} \cdot x^0$

siccome x⁰ = 1 l'equazione è dimostrata.

Derivate successive

Le derivate successive n-sime del prodotto di due funzioni è:

$\frac{\operatorname d^n}{{\operatorname dx}^n} fg(x)= \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x)\;g^{(k)}(x)$

Il primo elemento è il coefficiente binomiale.

Applicazione polinomiale

Proviamo a derivare 2 volte la funzione x³e^x

$D^{(2)}[x^3e^x]$	$= {2 \choose 0} 6xe^x + {2 \choose 1} 3x^2e^x + {2 \choose 2}x^3e^x$	(la derivata di ex è sempre uguale a se stessa)
	$= 1 \cdot 6xe^x + 2 \cdot 3x^2e^x + 1 \cdot x^3e^x$
	$= 6xe^x + 6x^2e^x + x^3e^x$

come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

${\operatorname d^n \over \operatorname dx^n} x^a = \frac{a!}{(a-n)!}x^{a-n}$

Voci correlate

• Regole di derivazione
• Regola del quoziente
• Regola della somma

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